En análisis funcional, un espacio vectorial topológico (EVT) se llama ultrabornológico si cada operador lineal acotado de a otro EVT es necesariamente continuo. Una versión general del teorema de la gráfica cerrada es válida para espacios ultrabornológicos. Los espacios ultrabornológicos fueron introducidos por Alexander Grothendieck (Grothendieck [1955, p. 17] "espace du type (β)").
Definiciones
Sea un espacio vectorial topológico (EVT).
Preliminares
Un disco es un conjunto convexo y equilibrado. Un disco en un EVT se llama bornívoro si absorbe cualquier subconjunto acotado de
Una aplicación lineal entre dos EVT se denomina infraacotada'' si asigna discos de Banach a discos acotados.
Un disco en un EVT se denomina infrabornívoro si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: absorbe cada disco de Banach en
mientras que si es localmente convexo entonces podemos agregar a esta lista: El calibre de es una aplicación infraacotada;
mientras que si es localmente convexo y de Hausdorff entonces se puede agregar a esta lista: absorbe todos los discos compactos; es decir, es "compactivo".
Espacio ultrabornológico
Un EVT es ultrabornológico''' si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: Cada disco infrabornívoro en es un entorno del origen.
mientras que si es un espacio localmente convexo, entonces se puede agregar a esta lista: Todo operador lineal acotado desde hasta un espacio vectorial topológico metrizable completo es necesariamente continuo. Cada disco infrabornívoro está en un entorno de 0. será el límite inductivo de los espacios , ya que varía en todos los discos compactos en . Una seminorma en que está acotada en cada disco de Banach es necesariamente continua. Para cada espacio localmente convexo y cada aplicación lineal si está acotado en cada disco de Banach, entonces es continuo. Para cada espacio de Banach y cada aplicación lineal si está acotado en cada disco de Banach, entonces es continuo.
mientras que si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces se puede agregar a esta lista: es un límite inductivo de espacios de Banach.
Propiedades
Cada espacio ultrabornológico localmente convexo es barrilado, cuasi barrilado y bornológico, pero existen espacios bornológicos que no son ultrabornológicos. Cada espacio ultrabornológico es el límite directo de una familia de espacios de Fréchet nucleares, que abarca Cada espacio ultrabornológico es el límite inductivo de una familia de espacios DF nucleares, que abarca
Ejemplos y condiciones suficientes
El producto finito de espacios ultrabornológicos localmente convexos es ultrabornológico. Los límites inductivos de los espacios ultrabornológicos son ultrabornológicos.
Todo espacio bornológico secuencialmente completo de Hausdorff es ultrabornológico. Así, cada espacio bornológico de Hausdorff completo es ultrabornológico. En particular, cada espacio de Fréchet es ultrabornológico.
El espacio dual fuerte de un complete espacio de Schwartz es ultrabornológico.
Todo espacio bornológico de Hausdorff que sea casi completo es ultrabornológico.
Contraejemplos
Existen espacios ultrabarrilados que no son ultrabornológicos. Existen espacios ultrabornológicos que no son ultrabarrilados.
Véase también Operador lineal acotado Conjunto acotado (espacio vectorial topológico) Espacio bornológico Bornología Espacio localmente convexo Espacio de aplicaciones lineales Espacio vectorial topológico Bornología vectorial
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos Algunas caracterizaciones de espacios ultrabornológicos
Categoría:Espacios vectoriales topológicos