En matemáticas, la aplicación de Abel-Jacobi es una construcción de geometría algebraica que relaciona una curva algebraica con su variedad jacobiana. En geometría de Riemann, es una construcción más general que hace corresponder una variedad a su toro de Jacobi.
El nombre deriva del teorema de Abel y Jacobi, en el que se afirma que dos divisores efectivos son linealmente equivalentes si y solo si son indistinguibles bajo la aplicación de Abel-Jacobi.
Construcción de la aplicación
En geometría compleja, el jacobiano de una curva C se construye mediante integración de caminos. Es decir, supóngase que C tiene genus g, lo que significa topológicamente que:
Geométricamente, esta homología consiste en (clases de homología de) ciclos en C, o dicho de otro modo, bucles cerrados. Por lo tanto, se pueden elegir 2g bucles que lo generan. Por otro lado, otra forma más algebraico-geométrica de decir que el género de C es g es la siguiente:
donde K es el haz canónico en C.
Por definición, este es el espacio de formas diferenciales holomorfas definidas globalmente en C, por lo que se pueden elegir g formas linealmente independientes . Dadas las formas y los bucles cerrados, se puede integrar y se definen 2g vectores:
De las relaciones bilineales de Riemann se deduce que genera una retícula no degenerada (es decir, son una base real para ), y el jacobiano se define mediante:
La aplicación de Abel-Jacobi se define entonces de la siguiente manera. Se elige un punto base y, casi imitando la definición de , se define la aplicación:
Aunque aparentemente depende de un camino de a , cualquier par de dichos caminos define un bucle cerrado en y, por lo tanto, un elemento de . La integración sobre este bucle da como resultado un elemento de . Así, la diferencia se borra al pasar al cociente por . Cambiar el punto base sí modifica la aplicación, pero solo mediante una traslación del toro.
Aplicación de Abel-Jacobi de una variedad riemanniana
Sea una variedad compacta lisa. Sea su grupo fundamental. Sea su aplicación de abelianización. Sea el subgrupo de torsión de . Sea el cociente por torsión. Si es una superficie, es isomorfo no canónico a , donde es el género; más generalmente, es isomorfo no canónico a , donde es el primer número de Betti. Sea el homomorfismo compuesto.
Definición. El recubrimiento de la variedad correspondiente al subgrupo se denomina recubrimiento abeliano libre universal (o maximal).
Supongamos ahora que tiene un Variedad de Riemann. Sea el espacio de 1-formas armónicas en , con su dual identificado canónicamente con . Al integrar una 1-forma armónica integral a lo largo de caminos desde un punto base , se obtiene una aplicación al círculo .
De manera similar, para definir una aplicación sin elegir una base de cohomología, se procede de la siguiente manera. Sea un punto en el espacio recubridor de . Así, está representado por un punto de junto con un camino desde hasta él. Integrando a lo largo del camino , obtenemos una forma lineal en :
Esto da lugar a una aplicación:
que, además, se reduce a una aplicación:
donde es el recubrimiento abeliano libre universal.
Definición. La variedad de Jacobi (toro de Jacobi) de es el toro:
Definición. La aplicación de Abel-Jacobi:
se obtiene a partir de la aplicación anterior mediante el paso a cocientes.
La aplicación de Abel-Jacobi es única salvo traslaciones del toro de Jacobi. Esta aplicación tiene aplicaciones en geometría sistólica. La aplicación de Abel-Jacobi de una variedad riemanniana aparece en el comportamiento asintótico a largo plazo del núcleo de calor en una variedad periódica ( y ).
De manera similar, se puede definir un análogo en teoría de grafos de la aplicación de Abel-Jacobi como una aplicación lineal a trozos de un grafo finito a un toro plano (o un grafo de Cayley asociado a un grupo abeliano finito), que está estrechamente relacionado con el comportamiento asintótico de los paseos aleatorios en redes cristalinas y puede utilizarse para el diseño de estructuras cristalinas.
Aplicación de Abel-Jacobi de una superficie de Riemann compacta
Se presenta una construcción analítica de la aplicación de Abel-Jacobi en superficies de Riemann compactas.
Sea una superficie de Riemann suave de género . Sea una base de homología canónica en , y la base dual para , que es un espacio vectorial complejo de dimensión que consta de forma diferencial holomorfos. Por "base dual" entendemos , para . Podemos formar una matriz simétrica cuyas entradas son , para . Sea la red generada por las columnas de la matriz cuyas entradas consisten en para donde . Se denomina a la variedad jacobiana de , que es un grupo de Lie complejo, suave y conmutativo de dimensión .
Se puede definir una aplicación eligiendo un punto y estableciendo
que es una aplicación holomorfa bien definida con rango 1 (rango máximo). Entonces, se puede extenderla naturalmente a una aplicación de clases divisoras.
Si se denota como el grupo de clases divisor de , se define una aplicación estableciendo:
Nótese que si es verdadero, esta aplicación es independiente de la elección del punto base, por lo que se puede definir la aplicación independiente del punto base:
,
donde denota los divisores de grado cero de .
El teorema de Abel que se presenta a continuación muestra que el núcleo de la aplicación es precisamente el subgrupo de divisores principales. Junto con el problema de inversión de Jacobi, se puede afirmar que es isomorfo como grupo al grupo de divisores de grado cero módulo su subgrupo de divisores principales.
Teorema de Abel-Jacobi
Abel demostró el siguiente teorema (conocido como teorema de Abel): supóngase que
es un divisor (es decir, una combinación lineal entera formal de puntos de C). Entonces, se puede definir
y, por lo tanto, hablar del valor de la aplicación de Abel-Jacobi sobre divisores. El teorema establece que si D y E son dos divisores efectivos, es decir, que los son enteros positivos, entonces:
si y solo si es linealmente equivalente a Esto implica que la aplicación de Abel-Jacobi induce una aplicación inyectiva (de grupos abelianos) del espacio de clases de divisores de grado cero al jacobiano.
Jacobi demostró que esta aplicación también es sobreyectiva (lo que se conoce como el problema de inversión de Jacobi), por lo que los dos grupos son naturalmente isomorfos.
El teorema de Abel-Jacobi implica que la variedad de Albanese de una curva compleja compacta (dual de 1-formas holomorfas módulo periodos) es isomorfa a su variedad jacobiana (divisores de grado 0 módulo equivalencia). Para variedades proyectivas compactas de dimensiones superiores, la variedad de Albanese y la variedad de Picard son duales, pero no necesariamente isomorfas.
Referencias
Bibliografía
Categoría:Curvas algebraicas Categoría:Geometría de Riemann Categoría:Niels Henrik Abel Categoría:Superficie de Riemann