El teorema de representación de Birkhoff, también conocido como teorema fundamental de los retículos distributivos finitos, es un resultado de la teoría de retículos que caracteriza los retículos distributivos finitos mediante conjuntos parcialmente ordenados. Establece que todo retículo distributivo finito es isomorfo al retículo de los ideales de orden del conjunto parcialmente ordenado formado por sus elementos irreducibles respecto del supremo. El resultado fue demostrado por Garrett Birkhoff en 1937.

Definiciones Sea un retículo finito con elemento mínimo . Un elemento es irreducible respecto del supremo si y

implica que o . Se denota por al conjunto de estos elementos, provisto del orden heredado de .

Si es un conjunto parcialmente ordenado, un subconjunto es un ideal de orden o conjunto inferior si

El conjunto de todos los ideales de orden de , denotado por , forma un retículo distributivo bajo la inclusión, en el que el ínfimo es la intersección y el supremo es la unión.

Enunciado Sea un retículo distributivo finito. Entonces

De manera explícita, el isomorfismo viene dado por

Su inversa asigna a cada ideal de orden el supremo de sus elementos:

donde el supremo del conjunto vacío es .

En particular,

y

Demostración Todo elemento de un retículo finito es el supremo de los elementos irreducibles respecto del supremo que se encuentran por debajo de él. Por tanto,

Esto implica que la aplicación es inyectiva.

La distributividad permite además mostrar que todo elemento irreducible respecto del supremo es primo respecto del supremo. En efecto, si

entonces

Como es irreducible, se sigue que o .

Sea ahora un ideal de orden de y sea

Si y , la propiedad anterior implica que para algún . Como es un conjunto inferior, . Por consiguiente,

por lo que es también sobreyectiva y, por tanto, un isomorfismo de retículos.

Ejemplo Considérese el retículo de los divisores positivos de , ordenados por divisibilidad:

El ínfimo de dos elementos es su máximo común divisor y el supremo es su mínimo común múltiplo. Los elementos irreducibles respecto del supremo son

con , mientras que es incomparable con los otros dos. Sus ideales de orden son

Bajo el isomorfismo de Birkhoff corresponden, respectivamente, a

Así, la estructura completa del retículo puede recuperarse únicamente a partir del orden parcial de sus elementos irreducibles respecto del supremo.

Dualidad finita Recíprocamente, si es cualquier conjunto parcialmente ordenado finito, es un retículo distributivo finito. Sus elementos irreducibles respecto del supremo son precisamente los ideales principales

para . En consecuencia,

De este modo, salvo isomorfismo, los retículos distributivos finitos y los conjuntos parcialmente ordenados finitos se determinan mutuamente. Esta correspondencia se conoce también como dualidad de Birkhoff finita.

La condición de finitud es esencial para esta formulación. En un retículo distributivo infinito los elementos irreducibles respecto del supremo no tienen por qué bastar para reconstruir todo el retículo; las generalizaciones al caso infinito utilizan otras técnicas de representación, entre ellas representaciones mediante ideales primos y la dualidad de Priestley.

Véase también

Retículo (matemáticas) Retículo distributivo Conjunto parcialmente ordenado Diagrama de Hasse Álgebra de Boole Dualidad de Stone

Referencias

Bibliografía

Categoría:Teoría de retículos