La teoría de la relatividad general es una teoría métrica de la gravitación que incorpora además una descripción básica de los sistemas de referencia totalmente generales.
Matemáticamente la teoría de la relatividad describe los efectos del campo gravitatorio modelando el universo como una variedad pseudoriemanniana, que recibe el nombre de espacio-tiempo. El campo gravitatorio se manifiesta en la curvatura del espacio-tiempo de tal manera que cuanto más intenso es el campo gravitatorio en cierto punto mayores son las componentes del tensor de curvatura en ese punto.
Este artículo introduce los conceptos matemáticos básicos que intervienen en la teoría de la relatividad general, básicamente esos conceptos se refieren a la geometría diferencial, el cálculo sobre variedades y el álgebra tensorial
Formulación general de la teoría: entidades básicas Los objetos básicos que intervienen en una descripción relativista de un modelo de universo son: Una variedad pseudoriemanniana, , de cuatro dimensiones que modeliza la geometría del espacio tiempo. Aquí g designa el tensor métrico que permite definir la longitud de una curva, el ángulo entre vectores, las relaciones de ortogonalidad, el volumen de una región del espacio tiempo, etc. Asociada a esta métrica se define una derivada covariante "compatible" con esta métrica (en la teoría de la relatividad general esta métrica queda determinada por la condición de que la derivada del tensor métrico se anule idénticamente, en otras generalizaciones de la relatividad general, como la teoría de Einstein-Cartan la "compatibilidad" se define de manera ligeramente diferente). Los tensores físicos que son aplicaciones lineales definidas sobre los espacios vectoriales tangentes y cotangentes en cada punto del espacio-tiempo (es decir, puesto que espacio-tiempo es curvo en general el espacio vectorial tangente en dos puntos diferentes de dicho espacio-tiempo no coinciden y es necesario algún tipo de regla para "proyectar" o comparar el valor de una magnitud física en un punto del espacio-tiempo con la misma magnitud en otro punto diferente). Dentro de los tensores básicos que aparecen en la teoría están: El tensor de energía-impulso, que da una descripción del tipo de materia del que está lleno un universo, de sus propiedades básicas así como de su distribución. Los tensores de curvatura, que están asociados a la intensidad del campo gravitatorio y son calculables a partir de derivadas covariantes de la métrica. En particular las ecuaciones básicas de la relatividad de Einstein establece que el tensor de curvatura de Einstein es proporcional al tensor de energía-impulso. El conjunto de observadores físicamente admisibles puede definirse como el conjunto de posibles sistemas de coordenadas sobre la variedad espacio-tiempo o más generalmente como una sección del fibrado principal de referencias (ortogonales). Un hecho básico de la teoría de la relatividad, es que diferentes observadores medirán diferentes valores de ciertas magnitudes físicas, dependiendo de su estado de movimiento relativo. Sin embargo, las medidas realizadas por diferentes observadores estarán relacionadas por cierto tipo de leyes tensoriales. De hecho un principio físico importante llamado principio de covariancia explicita que aunque las cantidades medidas por diferentes observadores son diferentes, las ecuaciones que relacionan las diferentes magnitudes medidas por un observador deben tener invariancia de forma para todos los observadores. Es decir, todos los observadores sean cuales sean describirían los fenómenos físicos con leyes formalmente idénticas, es decir, con la misma forma.
La teoría proporciona ecuaciones que describen como se relacionan los tensores en cada punto del espacio, como determinan su curvatura y como se pueden relacionar entre sí las medidas realizadas por varios observadores moviéndose dentro del espacio-tiempo curvo.
Postulados básicos de la teoría de la relatividad general Existe una velocidad máxima de propagación de las información y de los campos y partículas (principio de la relatividad especial)
Es imposible distinguir localmente un campo gravitatorio localmente en el espacio y el tiempo, es decir, hay una transformación de coordenadas que hace que la derivada de la velocidad de la luz con respecto al tiempo sea nula en todas las direcciones, y no hay otro experimento no cinético que permita distinguirlo (principio de equivalencia)
Existen ecuaciones que expresan el comportamiento (salvo efectos cuánticos) que son válidas en cualquier sistema de referencia, o sea, decir qué un objeto se mueve solo tiene sentido en relación con otro. (principio de covarianza)
La variedad espacio-tiempo Matemáticamente el universo o espacio-tiempo es representado mediante una entidad geométrica llamada variedad pseudoriemanniana, dentro de la cual se especifica un procedimiento para medir las distancias o tensor métrico, una derivada covariante asociada y un transporte paralelo asociado. Todas esas magnitudes permiten definir tanto la curvatura, como relacionar magnitudes físicas medidas por diferentes observadores situados en diferentes puntos del espacio-tiempo.
La curvatura del espacio
200px|miniatura|izquierda|En la geometría euclídea, los ángulos de un triángulo suman siempre 180°.
Según su curvatura, los espacios pueden clasificarse en tres categorías diferentes: Espacios euclídeos, o de curvatura nula, elípticos, de curvatura positiva, e hiperbólicos, de curvatura negativa.
El espacio euclídeo es el espacio ordinario. Fue el matemático griego, Euclides, quien en el sistematizó en su obra Fundamentos los conocimientos geométricos de la ciencia griega: En ella se realizaba un estudio minucioso y sistemático de las figuras geométricas y se establecían 5 postulados fundamentales. De ellos, el más importante era el quinto, denominado quinto postulado de Euclides, cuyas proposiciones principales son las siguientes: La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es igual a 180° (Euclides). Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a Posidonio). Las rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta (Thábit ibn Qurra, h. 826-901).
200px|miniatura|derecha|La superficie de la esfera es un paradigma de geometría elíptica. Como se puede contemplar en esta imagen, los ángulos de un triángulo trazado sobre dicha superficie suman más de 180 grados. Este esquema fue aceptado por los matemáticos de los siglos posteriores. Sin embargo, en el , algunos matemáticos árabes, como Thábit ibn Qurra, se dieron cuenta de que los postulados de Euclides no funcionaban en determinadas estructuras geométricas, como la superficie de una esfera. Se comenzó a desarrollar progresivamente el estudio de la llamada geometría elíptica, de curvatura positiva, cuyas características principales eran (y aún siguen siendo) las siguientes:
La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es superior a 180º. Las rectas paralelas convergen progresivamente y terminan por cortarse entre sí.
Otros matemáticos posteriores, como János Bolyai o Nikolai Lobachevski crearon otro modelo geométrico no euclídeo que sin embargo, tenía una configuración completamente opuesta a la de la geometría elíptica: Se trataba del espacio hiperbólico, o de curvatura negativa, cuyas características principales son las siguientes:
La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es inferior a 180º. Las rectas paralelas divergen progresivamente y nunca llegan a cortarse.
200px|miniatura|izquierda|La superficie de una silla de montar tiene las propiedades de un espacio hiperbólico. Los ángulos de cualquier triángulo que se trace sobre ella suman menos de 180º. Las líneas paralelas no permanecen a una distancia constante sino que divergen progresivamente entre sí. Ahora bien, las geometrías elíptica e hiperbólica eran contempladas como simples casos especiales que no afectaban a la estructura del espacio en sí, que se consideraba plano y euclideo. Fue Carl Friedrich Gauss el primer matemático que intuyó la posibilidad de que nuestro espacio fuese curvo. Aunque incluso realizó experimentos al efecto, el genial matemático alemán no llegó a elaborar una teoría coherente en esta materia. Dicho honor le correspondería a su discípulo, Bernhard Riemann, cuyo trabajo, "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen." revolucionaría el mundo de las matemáticas y la física. Unas décadas después, el matemático francés Henri Poincaré hacía la siguiente reflexión en uno de sus estudios: Si nuestro espacio es curvo, y dicha curvatura era capaz de afectar incluso a los rayos de la luz, provocando su difracción, nosotros experimentaríamos vivir en un espacio euclideo. Nada impediría, por tanto, concebir a nuestro espacio como intrínsecamente curvo.
Todas estas ideas fueron recogidas por Albert Einstein, quien empleando las herramientas matemáticas creadas por Bernhard Riemann, Tullio Levi-Civita, Gregorio Ricci-Curbastro y Erwin Bruno Christoffel, logró construir la teoría geométrica de la gravedad que hoy en día conocemos con el nombre de Teoría de la Relatividad General.
El tensor métrico
El tensor métrico es el objeto matemático que permite calcular "distancias" y otros conceptos métricos en relatividad general. Además a partir de sus derivadas puede construirse el concepto de curvatura. Técnicamente es un tensor simétrico de segundo orden, a partir del cual puede calcularse longitud de una curva a partir de una integral a lo largo de tramos de dicha curva y definida entre dos puntos de la misma. Una vez especificado un sistema de coordenadas, el tensor métrico se representa mediante un conjunto de funciones , llamadas componentes o coeficientes del tensor métrico:
En física la expresión del tensor métrico se escribe de una forma en que se aprecia como las componentes anteriores se relacionan localmente con la longitud, mediante la expresión informal, usando el convenio de sumación de Einstein además dado el significado físico y uso del tensor se omiten los productos tensoriales y la expresión equivalente que usualmente se escribe es:
El ejemplo más sencillo posible de tensor métrico, es el del espacio euclídeo tridimensional, expresado en coordenadas cartesianas, cuyas componentes representadas matricialmente son precisamente las de la matriz identidad:
En este espacio, el cálculo de la distancia entre dos puntos, a y b unidos por una curva L = {(x1,...,xn)| λ en [a, b]} se puede expresara partir de : Introduciendo los valores dados por (*) e introduciendo una parametrización φ del segmento (con φ(s0) = a y φ(sf) = b) debe entenderse como la integral de línea:
De hecho, este tensor métrico es posible derivar el teorema de Pitágoras para tres dimensiones.
Carácter atractivo/repulsivo del campo derecha|miniatura|250px|La genial intuición de Riemann: En la imagen vemos cómo la distancia entre dos partículas disminuye con el paso del tiempo. La disminución en el tiempo del valor de los coeficientes del tensor métrico equivale a una fuerza de atracción recíproca entre ambos cuerpos.Tres nociones procedentes del cálculo de matrices, la traza, la signatura y el determinante, son esenciales para el desarrollo de las ecuaciones de la Relatividad General: La signatura es el conjunto de los coeficientes de la diagonal del tensor métrico (en el espacio tridimensional euclídeo sig = {1,1,1}). La traza es la suma de los coeficientes de la signatura (en el espacio euclídeo tr g = 3).