thumb|350px|right|El espacio euclídeo tridimensional R3 es un espacio vectorial y las líneas y los planos que pasan por el origen son subespacios vectoriales de R3.
El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
Dicho de otra forma, el Álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se ocupa de las ecuaciones lineales como:
y aplicaciones lineales tales como:
y sus representaciones en espacios vectoriales y a través de matrices.
El álgebra lineal es fundamental en casi todas las áreas de las matemáticas. Por ejemplo, el álgebra lineal es fundamental en las presentaciones modernas de la geometría, incluso para definir objetos básicos como líneas, planos y rotaciones. Además, el análisis funcional, una rama del análisis matemático, puede considerarse básicamente como la aplicación del álgebra lineal al espacios de funciones.
El álgebra lineal también se utiliza en la mayoría de las ciencias y campos de la ingeniería, porque permite modelar muchos fenómenos naturales, y computar eficientemente con dichos modelos. Para los sistemas no lineales, que no pueden ser modelados con el álgebra lineal, se utiliza a menudo para tratar las aproximaciones de primer orden, utilizando el hecho de que la diferencial de una 'función multivariante' en un punto es el mapa lineal que mejor aproxima la función cerca de ese punto así como el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería entre otras más.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a 1843, cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones inspirado en los números complejos; y a 1844, cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).
Historia El procedimiento para resolver ecuaciones lineales simultáneas que ahora se denomina eliminación gaussiana aparece en el antiguo texto matemático chino Cálculo de barras#Sistema de ecuaciones lineales; Capítulo octavo: Matrices rectangulares de Los nueve capítulos sobre el arte matemático. Su uso se ilustra en dieciocho problemas, con dos a cinco ecuaciones.
Los Sistemas de ecuaciones lineales surgieron en Europa con la introducción en 1637 por René Descartes de las coordenadas en la geometría. De hecho, en esta nueva geometría, ahora llamada geometría cartesiana, las líneas y los planos están representados por ecuaciones lineales, y calcular sus intersecciones equivale a resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Los primeros métodos sistemáticos para resolver sistemas lineales utilizaban determinantes, considerados por primera vez por Leibniz en 1693. En 1750, Gabriel Cramer los utilizó para dar soluciones explícitas de sistemas lineales, lo que ahora se llama regla de Cramer. Más tarde, Gauss describió aún más el método de eliminación, que inicialmente fue catalogado como un avance en geodesia.
En 1844 Hermann Grassmann publicó su "Teoría de la Extensión" que incluía nuevos temas fundacionales de lo que hoy se llama álgebra lineal. En 1848, James Joseph Sylvester introdujo el término matriz, que en latín significa vientre.
El álgebra lineal creció con las ideas anotadas en el plano complejo. Por ejemplo, dos números w y z en ℂ tienen una diferencia w - z, y los segmentos de línea y tienen la misma longitud y dirección. Los segmentos son equipolentes. El sistema cuatridimensional ℍ de cuaterniones se inició en 1843. El término vector fue introducido como v = x i + y j + z k representando un punto en el espacio. La diferencia de cuaterniones p - q también produce un segmento equipolente a la Otros sistemas de números hipercomplejos también utilizaron la idea de un espacio lineal con una base.
Arthur Cayley introdujo la multiplicación matricial y la matriz inversa en 1856, haciendo posible el grupo lineal general. El mecanismo de representación de grupo se hizo disponible para describir los números complejos e hipercomplejos. Fundamentalmente, Cayley utilizó una sola letra para denotar una matriz, tratando así una matriz como un objeto agregado. También se dio cuenta de la conexión entre las matrices y los determinantes, y escribió "Habría muchas cosas que decir sobre esta teoría de las matrices que deberían, me parece, preceder a la teoría de los determinantes".
Benjamin Peirce publicó su Álgebra lineal asociativa (1872), y su hijo Charles Sanders Peirce amplió el trabajo posteriormente.Benjamin Peirce (1872) Álgebra asociativa lineal, litografía, nueva edición con correcciones, notas y un trabajo añadido de 1875 de Peirce, más notas de su hijo Charles Sanders Peirce, publicado en el American Journal of Mathematics v. 4, 1881, Universidad Johns Hopkins, pp. 221-226, Google Eprint y como extracto, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint.
El telégrafo requería un sistema explicativo, y la publicación en 1873 de A Treatise on Electricity and Magnetism instituyó una teoría de campos de fuerzas y requirió la geometría diferencial para su expresión. El álgebra lineal es geometría diferencial plana y sirve en los espacios tangentes a los colectores. Las simetrías electromagnéticas del espaciotiempo se expresan mediante las transformaciones de Lorentzs, y gran parte de la historia del álgebra lineal es la historia de las transformaciones de Lorentz.
La primera definición moderna y más precisa de un espacio vectorial fue introducida por Peano en 1888; en 1900 había surgido una teoría de las transformaciones lineales de los espacios vectoriales de dimensión finita. El álgebra lineal tomó su forma moderna en la primera mitad del , cuando muchas ideas y métodos de siglos anteriores se generalizaron como álgebra abstracta. El desarrollo de los ordenadores hizo que aumentara la investigación de algoritmos eficientes para la eliminación gaussiana y las descomposiciones matriciales, y el álgebra lineal se convirtió en una herramienta esencial para la modelización y las simulaciones.
Contexto general De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).
Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:
A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de escalares, sino que pueden ser elementos de un conjunto cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial sobre un campo fijo).
Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un par de los mismos.
Espacios vectoriales
Antecedentes Hasta el , el álgebra lineal se presentaba a través de sistemas de ecuaciones lineales y matrices. En la matemática moderna, se prefiere generalmente la presentación a través de espacios vectoriales, ya que es más sintética, más general (no se limita al caso de dimensión finita) y conceptualmente más sencilla, aunque más abstracta.
Algunas operaciones básicas Un espacio vectorial sobre un campo , con frecuencia el campo de los números reales, es un Conjunto dotado de dos operaciones binarias que satisfacen los siguientes axiomas. Los elementos de se llaman vectores, y los elementos de F se llaman escalares.
La primera operación, la suma de vectores, se expresa de la siguiente manera: tómese dos vectores cualesquiera y ; la suma tiene como resultado un tercer vector .
La segunda operación, multiplicación escalar, se expresa de la siguiente manera: tómese cualquier escalar y cualquier vector y produce un nuevo . Los axiomas que deben satisfacer la suma y la multiplicación escalar son los siguientes, siendo en la lista siguiente, y elementos arbitrarios de ; y y son escalares arbitrarios en el campo .
Axioma Significación Asociativa de adición Conmutativa de adición Elemento neutro de adición Existe un elemento en , llamado el vector cero, o simplemente cero, tal que se cumple para todo del conjunto . Elemento simétrico de adición Para todo en , existe un elemento in , llamado el aditivo inverso de , tal que Distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la suma vectorial Distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la suma de campos Compatibilidad de la multiplicación escalar con la multiplicación de campos Elemento de identidad de la multiplicación escalar , donde indica el elemento neutro de .
Aplicaciones lineales
Las aplicaciones lineales son mapeos entre espacios vectoriales que preservan la estructura del espacio vectorial. Dados dos espacios vectoriales y sobre un campo , un mapa lineal, también llamado en algunos contextos, transformación lineal o mapeo lineal, es un mapa o aplicación
que es compatible con la suma y la multiplicación escalar, es decir
para los vectores in y escalares en .
Esto implica que para cualquier vector en y escalares en , se tiene
Donde son el mismo espacio vectorial, un mapa lineal también se conoce como un operador lineal en .
Un mapa lineal biyectivo entre dos espacios vectoriales, es decir, cada vector del segundo espacio se asocia exactamente con uno en el primero, es un isomorfismo. Dado que un isomorfismo preserva la estructura lineal, dos espacios vectoriales isomorfos son "esencialmente iguales" desde el punto de vista del álgebra lineal, en el sentido de que no pueden distinguirse utilizando las propiedades del espacio vectorial. Una cuestión esencial en el álgebra lineal es probar si un mapa lineal es un isomorfismo o no, y, si no es un isomorfismo, encontrar su rango (o imagen) y el conjunto de elementos que son mapeados al vector cero, llamado el núcleo del mapa. Todas estas cuestiones pueden resolverse mediante el uso de la eliminación gaussiana o alguna variante de este algoritmo.
Subespacios, intervalo y base
El estudio de aquellos subconjuntos de espacios vectoriales que son en sí mismos espacios vectoriales bajo las operaciones inducidas es fundamental, al igual que para muchas estructuras matemáticas. Estos subconjuntos se denominan subespacios lineales. Más precisamente, un subespacio lineal de un espacio vectorial sobre un campo es un subconjunto de of tal que y están en , para todo , en , y todo in . Estas condiciones son suficientes para implicar que es un espacio vectorial.
Por ejemplo, dado un campo lineal , la imagen de , y la imagen inversa de 0, llamada núcleo o kernel, son subespacios lineales de y , respectivamente.
Otra forma importante de formar un subespacio es considerar las combinaciones lineales de un conjunto de vectores: el conjunto de todas las sumas
donde están en , y están en forman un subespacio lineal llamado Sistema generador de . El sistema generador de es también la intersección de todos los subespacios lineales que contienen a . En otras palabras, es el subespacio lineal, más pequeño para la relación de inclusión, que contiene a .
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno está en el intervalo de los demás. De manera equivalente, un conjunto de vectores es linealmente independiente si la única forma de expresar el vector cero como una combinación lineal de elementos de es tomar cero para cada coeficiente