Problema de Monty Hall

El problema de Monty Hall o paradoja de Monty Hall es un problema matemático de probabilidad basado en el concurso televisivo estadounidense Trato hecho (Let's Make a Deal). El problema fue planteado y resuelto por el matématico Steve Selvin, en la revista American Statistician en 1975 y posteriormente popularizado por Marilyn vos Savant en Parade Magazine en 1990. El problema fue bautizado con el nombre del presentador de dicho concurso, Monty Hall.

La premisa El concursante debe elegir una puerta entre tres (todas cerradas); el premio consiste en llevarse lo que se encuentra detrás de la elegida.

Se sabe con certeza que tras una de ellas se oculta un coche, y tras las otras dos hay cabras.

Una vez que el concursante haya elegido una puerta y comunicado su elección a los presentes, el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta, abrirá una de las otras dos, en la que habrá una cabra. A continuación, le da la opción al concursante de cambiar, si lo desea, de puerta (tiene dos opciones).

¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

Esa pregunta generó un intenso debate. Como la respuesta correcta parece contradecir la intuición, es una paradoja.

La premisa original

A continuación se expone el enunciado más famoso del problema, extraído de una carta de Craig F. Whitaker a la columna de Marilyn vos Savant en la revista Parade Magazine en 1990 (como la citan Bohl, Liberatore y Nydick).«Game show problem», artículo en inglés publicado en 2016 en el sitio web Marilyn vos Savant.

Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

En la carta posterior de Selvin a American Statistician (agosto de 1975) aparece la que parece ser la primera mención del término "problema de Monty Hall".

Un problema análogo denominado "problema de los tres prisioneros" apareció en la columna Mathematical Games, de Martin Gardner, en 1959. La versión de Gardner hace el proceso de elección explícito, evitando las suposiciones de la versión original.

La manera más intuitiva de visualizar la mejor estrategia es teniendo en cuenta que tienes 2/3 de probabilidad de elegir una cabra y luego el presentador te desvela dónde está la otra. Por descarte, lo más probable es que el coche esté en la puerta restante y, en concreto, con 2/3 de probabilidad.

La premisa completa Se ofrece un concurso cuya mecánica es la siguiente: Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger una entre tres puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos hay cabras. El concursante gana el premio que se oculta detrás de la puerta que escoja. Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede hacerlo, ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda otra entre las puertas que ha descartado y el presentador conoce lo que hay detrás de cada puerta. Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección inicial y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que continúa cerrada.

La pregunta oportuna es: ¿es para él conveniente hacerlo? ¿cambian sus probabilidades de ganar el premio mayor si cambia o da igual?

La solución

Suposiciones iniciales Esta solución se basa en tres suposiciones básicas: que el presentador siempre abre una puerta y siempre distinta a la que eligió inicialmente el concursante, que tras la que el presentador ha abierto siempre hay una cabra, puesto que conoce lo que hay detrás de cada puerta, que el presentador la escoge entre las dos restantes después de que el concursante haya escogido la suya,

que el presentador da al concursante la posibilidad de cambiar a la otra puerta que todavía sigue cerrada.

Un estudio probabilístico

La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez que sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (es 1/2) de tener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección del jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que tiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las otras dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad, puesto que había acertado.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana, puesto que había elegido cabra en primera opción.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.

+Detrás de la puerta 1Detrás de la puerta 2Detrás de la puerta 3Resultado si se mantiene la selección de la puerta 1Resultado si se cambia de puertaCabraCabraGanar una cabraCabraCabraGanar una cabraCabraCabraGanar una cabra

Planteamiento matemático

Sea X:(, P) → {1,2,3} la puerta aleatoria detrás de la cual se encuentra el coche. Sea Y:(, P) → {1,2,3} la puerta que escoge aleatoriamente el candidato. Las variables aleatorias X e Y son estocásticamente independientes. Sea M: (, P) → {cabra, coche} lo que se encuentra detrás de la puerta que el moderador escoge (entre las que aún no se han abierto y siempre una cabra). Se cumple entonces [M=cabra] con probabilidad 1 (o siempre), es decir: P[M=cabra] = 1. La probabilidad de que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto de que él no cambia de puerta es entonces P[X=Y|M=cabra] = P[X=Y]/P[M=cabra] = (1/3)/1 = 1/3. Por otro lado, la probabilidad de que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto de que él cambia de puerta es entonces: P[X≠Y|M=cabra] = 1 - P[X=Y] = 2/3. Esta es la solución correcta.

Una "solución" incorrecta se obtiene de la siguiente interpretación: Si, por otro lado, el presentador escoge de manera aleatoria y uniforme entre las puertas que aún no se han abierto, entonces la probabilidad de que el candidato se lleve el coche (dado que él no cambia de puerta) es P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]/P[M=cabra]=P[X=Y]/(P[M=cabra|X=Y]P[X=Y] + P[M=cabra|X≠Y]P[X≠Y])=(1/3)/(1/3 + (1/2)*(2/3)) = 1/2. Por lo tanto, 0,5 es la probabilidad de que el candidato se lleve el coche (dado que él cambia de puerta), pero esta respuesta no es aplicable a nuestro problema.

Otra forma para ver el planteamiento es la siguiente: Definimos los eventos A: El concursante elige la puerta con el premio antes de cambiar de opción y; B: El concursante elige la puerta con el premio después de cambiar de opción. Entonces aplicando el teorema de Probabilidad Total, tenemos: P[B]=P[BA]+P[BÂ]=P[B|A]P[A]+P[B|Â]P[Â]=(0)(1/3)+(1)(2/3)= 2/3 (en donde  representa al complemento de A). P[B|A]=0, puesto que son eventos mutuamente excluyentes. P[A]=1/3, debido a que desde el inicio elige una puerta de tres y todas son equiprobables. P[B|Â]=1, es porque si eligió la puerta incorrecta desde el principio y posteriormente realiza el cambio, siempre ganará. P[Â]=2/3, porque P[Â]=1-P[A]=1-1/3=2/3.

Explicación Lo que muestra el presentador no afecta a la elección original; solo a la otra puerta no escogida. La elección inicial no podía ser revelada, independientemente de su contenido; en cambio la otra podría haber sido eliminada en caso de que no fuera la correcta. Una vez que se abre una puerta y se muestra la cabra, esa puerta tiene una probabilidad igual a 0 de contener un coche, por lo que deja de tenerse en cuenta. Si el conjunto de dos puertas tenía una probabilidad de 2/3 de contener el coche, entonces, si una tiene una probabilidad de 0, la otra debe tener una probabilidad de 2/3. La elección consiste en preguntarle si prefiere seguir con su puerta original o escoger las otras dos puertas. La probabilidad de 2/3 se traspasa a la otra puerta no escogida (en lugar de dividirse entre las dos puertas restantes de modo que ambas tengan una probabilidad de 1/2) porque en ningún caso puede el presentador abrir la puerta escogida inicialmente. Si el presentador escogiese al azar y abriese una de las dos puertas con cabras (siendo una de estas posiblemente la del concursante), y luego diese de nuevo una posibilidad de elegir entre las demás, entonces las dos puertas restantes sí tendrían la misma probabilidad de contener el coche. Es necesario tener en cuenta la situación en como se dan las cosas.

Causas del error La revelación de la puerta con cabra elimina el 1/3 de las posibilidades correspondientes a cuando dicha opción podría contener el premio, lo que intuitivamente hace pensar que las posibilidades restantes son el 1/3 original de la puerta elegida, y el 1/3 original de la otra que el presentador mantuvo cerrada. Cada uno de esos 1/3's originales representaría 1/2 con respecto al subconjunto restante.

Sin embargo, la trampa está en que la revelación también eliminó la mitad del 1/3 en el que la puerta escogida por el concursante podría ser la correcta. Por ejemplo, supongamos que el concursante había elegido la Puerta 1 y que el presentador luego reveló la Puerta 3. Sabemos que la Puerta 1 en total sería correcta 1/3 del tiempo, pero la pregunta es: ¿el presentador va a abrir la Puerta 3 siempre que la número 1 sea la premiada? La respuesta es no; cuando la número 1 es escogida por el concursante y contiene el premio, el presentador es libre de elegir entre descartar la número 2 o la número 3, por lo que cada una tiene 1/2 chances de ser revelada en ese caso, no hay nada en las reglas que determine que deba optar por una o la otra. Por ende, la revelación de una de ellas dejó a la puerta escogida por el concursante con solo 1/3 * 1/2 = 1/6 probabilidades, no con su 1/3 original. Para que conservara su 1/3 completo tendríamos que estar seguros de que siempre que la Puerta 1 sea la correcta, el presentador va a abrir la número 3 y no la número 2.

En cambio, cuando la puerta del concursante es errónea, al presentador solo le queda una opción disponible para revelar, ya que siempre debe escoger una errónea de entre las que el concursante no eligió. Por ende, la otra puerta que permanece cerrada conserva su 1/3 original después de la revelación, dado que en ese 1/3 solo una revelación podía ocurrir.

Así que la opción del concursante queda con 1/6 de probabilidad mientras que la otra permanece con su 1/3 original. Debemos escalar esas fracciones para que el total sume 1 de nuevo, ya que esas son las únicas posibilidades restantes en ese punto. Aplicando regla de tres se obtiene que el viejo 1/6 representa 1/3 actualmente, y el viejo 1/3 representa 2/3 actualmente.

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