Se denomina Gráficos existenciales (en inglés: existential graphs) al sistema lógico y de notación creado por el lógico y filósofo norteamericano Charles Sanders Peirce. El sistema comprende tanto una notación gráfica original de proposiciones lógicas como también un sistema de cálculo lógico, es decir, un sistema formal de reglas de inferencia en el cual a partir de enunciados originales y reglas de transformación se generan nuevos enunciados derivados de los primeros.
Introducción
En la óptica de Peirce, el estilo algebraico de notación del cálculo de predicados de primer orden, totalmente nuevo en su época y que él mismo había contribuido a desarrollar, „Development of first-order logic independently of Frege, anticipating prenex and Skolem normal forms“ (Hammer 1998, Seite 489) era desde un punto de vista filosófico insuficiente por cuanto el significado de los símbolos utilizados en sus fórmulas resultaba de meras convenciones.
Peirce dirigió así sus esfuerzos a encontrar un sistema de notación en el que los signos empleados acarreen literalmente su significado con ellos mismos:
Como ya lo había adelantado en su teoría de signos, pretendía elaborar un sistema iconográfico de símbolos tales que estos "se parezcan" a los objetos y relaciones mentados por los mismos. „[algebraic formulas] are not ‚iconic‘ – that is, they do not resemble the objects or relationships they represent. Peirce took this to be a defect.“ (Roberts 1973, Seite 17)
Pierce consagró gran parte de sus esfuerzos a elaborar un sistema iconográfico que deseaba intuitivo y fácil de aprender. Luego de una tentativa fallida, los "gráficos entitativos" (inglés: Entitative graphs), un sistema coherente de gráficos existenciales salió a la luz en 1896. Pero no tuvo influencia la historia de la lógica ni como sistema de notación ni como sistema de cálculo. Ello se debe a la escasez y a la poca inteligibilidad de los textos publicados por Peirce al respecto. „[Peirce’s] graphical publications were few and not easy to understand, as he admitted himself.“ (Roberts 1973, Seite 12) Por otra parte, la notación sobre la base de fórmulas lineares de uso entre los especialistas era un instrumento de más fácil utilización y estaba muy difundida. "The syntax of Peirce’s graphs lacks, at least in general, the combinatorial elegance and simplicity of linear notations" (Hammer 1998, Seite 502) Todo ello contribuyó a que, los gráficos existenciales fueron poco citados. Robert señala que inclusivo el tratado estadandar de la historia de la lógica, Kneale/Kneale The Development of Logic. Clarendon Press. Oxford 1962, ISBN 0-19-824773-7, no menciona los diagramas de Peircens. y que hayan sido considerados como un sistema de notación de escasa practicidad. "One questions the efficiacy of Peirce’s diagrams […]. Their basic machinery is too complex […]." (Quine: Review of Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Volume 4: The Simplest Mathematics, Isis 22, pag.552, cita según Robert, 1973, Pag. 13)
Recién a partir 1963 se llegó a una mejor compresión del sistema gracias a los trabajos de Don D. Roberts y J. Jay Zeman, donde fue sistemáticamente analizado y representado. Modernamente juegan un rol práctico en la aplicación desarrollada en 1976 por John F. Sowa conocida como gráficos conceptuales (conceptual graphs) que son utilizados en informática para la representación del conocimiento. Debido al creciente interés en la lógica gráfica, renació un cierto interés por los gráficos existenciales "Aside from their historic interest, Peirce’s graphical formalisms are of current interest. Sowa’s system of conceptual graphs […] is based on Peirce’s work. [Other work] also indicates increasing interest in the logic of graphical reasoning." (Hammer 1998, Seite 489) y surgieron tentativas tendientes a reemplazar las reglas de inferencia de Pierce por otras más intuitivas. Ver por ejemplo Sun-Joo Shin: "Reconstituting Beta Graphs into an Efficacious System", Journal of Logic, Language and Information archive, Volumen 8, Nro. 3, julio de 1999, Páginas 273−295
El sistema completo de gráficos existenciales debía integrarse con tres subsistemas:
los gráficos alfa, sistema de pura lógica proposicional los gráficos beta, extensión del anterior, abarca el cálculo de predicados de primer orden los gráficos gamma, que debería haber comprendido las lógicas de orden superior y la lógica modal
El subsistema de gráficos gamma no fue completado por Pierce. Tampoco fue analizado de manera exhaustiva ulteriormente. A partir de 1903 Peirce desarrolló un sistema asimismo inconcluso que denominó "gráficos existenciales coloreados" (en inglés: Tinctured Existential Graphs). El objetivo del mismo era de subsumir los subsistemas anteriores incrementando su potencia semántica y maleabilidad.
Desde el punto de vista del cálculo proposicional y del cálculo de predicados de primer orden, se demostró que los sistema de cálculo alfa y beta son a la vez consistentes y completos. Esto quiere decir por una parte, que todas las expresiones que pueden derivarse de los mismos son válidas y, por otra parte, que la totalidad de las proposiciones y predicados válidos de ambos sistemas pueden a su vez derivarse bajo la forma de gráficos alfa y beta. La prueba fue aportada en 1964 por J. Jay Zeman en su disertación (ver bibliografía); para los gráficos alfa ver también el trabajo de White, 1984
Peirce justificó la denominación "Gráficos existenciales" sosteniendo que el más simple de los gráficos beta, a la vez bien formado y portador de sentido, lleva consigo una proposición de existencia. Según Roberts, el "símbolo fundamental" (fundamental symbol) de los beta-gráficos expresa una relación de existencia (relation of existence) (Roberts, pag. 30) Peirce utilizó esta denominación recién a partir de fines de 1897, Carta a William James, del 18 de diciembre de 1897, cita según Roberts, página 30 Previamente había utilizado las denominaciones "gráficos lógicos positivos" (positive logical graphs) o simplemente "sistema de diagramas lógicos".
El presenta artículo trata a continuación de los gráficos alfa y beta, que son las partes más completas y que fueron históricamente objeto mayores análisis. Puede obtenerse información adicional en las obras referenciadas en la lista bibliográfica.
Gráficos Alfa
Notación de los gráficos alfa
thumb|300px|Gráficos alfa.
Las proposiciones atómicas, es decir aquellas que no pueden descomponerse en proposiciones más elementales, son representadas al igual que en la lógica proposicional por letras. Por ejemplo, la afirmación "llueve" puede representarse por la letra "P". La conjunción lógica de varias proposiciones (atómicas o no), se representa escribiendo simplemente sus símbolos uno a continuación del otro: para afirmar que dos proposiciones P y Q son verdaderas, se escribe simplemente "PQ".
La negación lógica se expresa envolviendo la expresión atómica o compuesta que se quiere negar con una línea cerrada. No existe ninguna exigencia en cuanto a la forma de tal trazado, pero por costumbre se utiliza un círculo o un óvalo. Peirce denomina dicho símbolo cut que puede traducirse como corte o recorte. La idea gráfico-semática subyacente apunta al hecho de que con el mismo se aíslan gráficamente las proposiciones "recortadas" del resto de la hoja de escritura, "la hoja de las aserciones". Por defecto, las proposiciones que se encuentran sobre esta son verdaderas. El "cut" asume así la función de "recortar" las proposiciones negadas del "universo" de lo verdadero.
Para representar una implicación, es decir, que la proposición P es una condición suficiente para la validez de Q, se utiliza una estructura que se lee "P enrolla Q" (P scrolls Q). La proposición Q (la proposición condicional) se encuentra al interior de un "recorte" y conjuntamente con la proposición P (el condicionante) yacen al interior de otro "recorte" exterior común. (Ver gráfico) Esta estructura se presenta en los gráficos existenciales como una forma autónoma, pero con el cabal conocimiento de que cada "recorte" significa negación y de que la escritura de las proposiciones una a continuación de la otra representa la conjunción lógica de las mismas. Es fácil advertir que la negación del conjunto ¬(P ∧ ¬Q) es en la lógica proposicional en un todo equivalente a P→Q. En términos gráficos, lo que se "recorta" de la hoja de aserción es precisamente la afirmación simultánea de la validez de P y la de la falsedad Q.
La disyunción lógica se representa con la conjunción de las proposiciones disyuntas, cada una de ellas "recortadas" y el este conjunto a su vez al interior de un "recorte" más grande. También se advierte fácilmente que esto es la representación de la fórmula ¬(¬P ∧ ¬Q), en la lógica proposicional equivalente de P ∨ Q. El significado gráfico apunta a que la disyunción "recorta" de la hoja de aserciones la posibilidad que P y Q sean simultáneamente falsos.
Combinando adecuadamente los "recortes" (negación) y la escritura en secuencia (conjunción) puede obtenerse el comportamiento de todos los otros operadores de la lógica proposicional bivalente. De tal manera, los gráficos alfa tienen plena eficacia en tanto que sistema de representación de aquella.
Cuando se escriben proposiciones bajo la forma de gráficos alfa con sistemas de tratamiento de texto (o con viejas máquinas de escribir), se suele representar el "recorte" con la puesta entre paréntesis. En lugar de trazar un círculo u óvalo alrededor de la proposición P se escribe en este caso simplemente (P). Así, la implicación "P enrolla Q" se representa en esta convención de escritura (P(Q)). Por razones tipográficas se emplea tal convención en el presente artículo
Reglas de inferencia de los gráficos alfa
Para formular estas reglas, es necesario definir el concepto de "nivel" (level) de una proposición (atómica o compuesta): es la cantidad de "recortes" que rodean directa o indirectamente una proposición determinada. Por ejemplo, en la expresión (P(Q)), el nivel de P y aquel de (Q) es 1, ya que ambas tienen solo un corte exterior a ellas. En cambio el nivel de Q es 2, ya que Q se encuentra rodeada inmediatamente por un recorte y este a su vez envuelto por un recorte exterior. Hecha esta observación, las reglas de inferencia pueden formularse como sigue: La representación y numeración de las reglas de inferencia sigue los lineamientos de Don D. Roberts en su libro The Existential Graphs of Charles S. Peirce, páginas 40–45.
Recepción (o aceptación)
La regla de recepción permite asentar con valor de premisa una proposición arbitraria y a partir de la misma derivar conclusiones. Si se quiere desarrollar un argumento que comprenda más de una premisa, se las escriben una a continuación de las otras, lo que significa que debe tomarse la proposición compuesta en su conjunto.
R1 – Regla de borrado ("Rule of Erasure")
Toda proposición que se encuentre en un nivel par, puede borrarse sin ser reemplazada. Con esta regla, se puede por ejemplo a partir de (P(Q)), inferir válidamente (P()) , porque Q se encuentra en nivel 2 (par). En cambio, no podría borrarse P puesto que se encuentra en 1 (impar).
R2 – Regla de inserción ("Rule of Insertion")
En todo nivel impar pueden insertarse proposiciones arbitrariamente. Por ejemplo, a partir de (P(Q)) se puede derivar (PR(Q)), puesto que R se inserta en nivel 1, impar.
R3 – Regla de iteración ("Rule of Iteration")