mini|300px|Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta
En matemática, particularmente en cálculo diferencial, se da el nombre de cicloide a la curva descrita por un punto de la circunferencia, cuando esta rueda sobre una recta sin resbalar.N. Piskunov Cálculo diferencial e integral tomo I
Historia
La cicloide ha sido llamada «La Helena de Troya de los geómetras», ya que causó frecuentes disputas entre matemáticos del .
miniatura|Veterum geometria promota in septem de cycloide libris de 1660, obra en la que Antoine de Lalouvère propuso una solución errónea del problema de Pascal sobre la cicloide.
Los historiadores de las matemáticas han propuesto varios candidatos como descubridores de la cicloide. El historiador matemático Paul Tannery citó un trabajo del filósofo sirio Jámblico como evidencia de que la curva era probablemente conocida en la antigüedad. (citado en Whitman 1943). Por su parte, en 1679 el matemático inglés John Wallis atribuyó el descubrimiento a Nicolás de Cusa, (Citado en Günther, p. 5). pero los eruditos posteriores indicaron que o bien Wallis estaba equivocado o bien las pruebas utilizadas por Wallis habían desaparecido.. El nombre de Galileo Galilei fue presentado al final del (Note: The first (1893) edition and its reprints state that Galileo invented the cycloid. According to Phillips, this was corrected in the second (1919) edition and has remained through the most recent (fifth) edition). y al menos un autor da el crédito a Marin Mersenne (monje, antiguo amigo de Descartes). A partir de la obra de Moritz Cantor. y de Siegmund Günther,. los estudiosos dan ahora prioridad al matemático francés Charles de Bovelles,.. basándose en su descripción de la cicloide en su Introductio in geometriam, publicado en 1503.. En esta obra, Bovelles identifica erróneamente el arco trazado por una rueda de rodadura como parte de un círculo mayor con un radio un 120 % más grande que la rueda más pequeña.
Galileo acuñó el término cicloide y fue el primero en hacer un estudio riguroso de la curva. Según su discípulo Evangelista Torricelli,. en 1599 Galileo intentó la cuadratura de la cicloide (construcción de un cuadrado con un área igual al área bajo la cicloide) con un enfoque inusualmente empírico que involucraba el trazado tanto del círculo generador como de la cicloide resultante sobre una hoja de metal, para luego cortarlos y pesarlos. Descubrió que la relación era de aproximadamente 3:1, pero de forma incorrecta concluyó que la relación era una fracción irracional, lo que hacía imposible la cuadratura. Alrededor de 1628, Gilles Persone de Roberval probablemente supo del problema de la cuadratura por Mersenne y lo resolvió en 1634 mediante el uso del teorema de Cavalieri. Sin embargo, este trabajo no fue publicado hasta 1693 (en su Traité des Indivisibles). (cited in Whitman 1943).
La construcción de la tangente de la cicloide data de agosto de 1638, cuando Mersenne recibió los métodos propios de Roberval, Pierre de Fermat y Descartes. Mersenne envió estos resultados a Galileo, quien a su vez se los dio a sus estudiantes Torricelli y Viviani, que fueron capaces de producir una cuadratura. Este resultado y otros fueron publicados por Torricelli en 1644, en la primera obra impresa sobre la cicloide. Esto llevó a Roberval a acusar a Torricelli de plagio, acabando la controversia por la muerte temprana de Torricelli en 1647.
En 1658, Christopher Wren demostró que la longitud de la cicloide es igual a cuatro veces el diámetro de la circunferencia generatriz.
En 1696 el matemático Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática la solución al problema de la braquistócrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), mostrando que la solución era una cicloide. Leibniz, Newton, Jakob Bernoulli y Guillaume de l'Hôpital, encontraron la solución del problema enunciado por Bernoulli. La cicloide se emplea para resolver el problema de la tautócrona (descubierto por Christian Huygens), en el que si se desprecia el rozamiento y si se invirtiese una cicloide dejando caer un objeto por la misma, por ejemplo una bola, esta llegará a la parte más baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida.
Entre los autores de demostraciones acerca de sus propiedades se encuentra el matemático René Descartes que obtuvo mediante razonamientos efectivos y elegantes la fórmula de la recta tangente en un punto cualquiera del arco de la cicloide, empleando técnicas que después desarrollaría como la ciencia de la geometría diferencial.
Como ya se ha señalado, debido a las continuas disputas entre los matemáticos del la cicloide ha sido denominada "La Helena de los Geómetras", aunque existen opiniones que mencionan que esta denominación poética podría hacer referencia a las bellas propiedades de esta curva, que atrajeron a los matemáticos de la época. En el año 1658 Blaise Pascal lanzó un desafío a los matemáticos proponiendo determinar la longitud de un arco de la cicloide así como su centro de gravedad y la superficie del volumen de revolución que engendra el área plana que barre el arco de cicloide al girar, ya sea en torno al eje de las abscisas, o en torno al eje de las ordenadas, o bien, en torno al eje de simetría del arco de cicloide. Fueron muchos los esfuerzos realizados en el para tratar de comprender esta curva y sus propiedades, tanto geométricas como físicas, que posteriormente han permitido desarrollar un gran número de aplicaciones industriales.
Ecuaciones miniaturadeimagen|Cicloide de radio 2
Ecuación paramétrica Si la cicloide se genera mediante una circunferencia de radio r que se apoya sobre el eje de abscisas en el origen, su descripción en forma paramétrica viene dada por:
donde es un parámetro real, correspondiente al ángulo girado por el círculo rodante. Para un dado, el centro del círculo está en , . Siendo la variable función de la variable , esta cicloide tiene un período de , y una altura de .
Ecuación cartesiana Si se despeja la variable en la ecuación paramétrica, se obtendrá la forma cartesiana:
,
donde el único parámetro de forma es el radio de la circunferencia generatriz. Esta fórmula es válida para la variable en el intervalo [, ], y proporciona solo la mitad del primer bucle de la cicloide.
Si se desea emplear el n-ésimo semi-bucle de la cicloide, se puede utilizar la siguiente ecuación:
Ecuación intrínseca
La ecuación en forma intrínseca es:
donde representa su radio de curvatura en cada punto, y la correspondiente longitud de arco desde el origen.
Proposiciones A continuación se enuncian cinco teoremas referidos a los elementos de la cicloide:
Del ángulo directriz-tangente El ángulo entre la tangente a la cicloide, en cualquier punto de ella, y la recta directriz es igual al ángulo complementario de la mitad del ángulo de giro del radio del círculo generador.
Del ángulo directriz-normal El ángulo entre la normal a la cicloide (en cualquiera de sus puntos) y la recta directriz es igual a la mitad del «ángulo principal».
De la propiedad esencial de la cicloide La tangente a la cicloide pasa por el punto «superior» del círculo generador.
Del ángulo tangente-vertical El seno del ángulo formado por la tangente a la cicloide en el punto y la vertical , es proporcional a la raíz cuadrada de la «altura» del punto .
De las condiciones de unicidad Sean la recta y un punto . La única curva que satisface las condiciones de la proposición ángulo tangente-vertical, y pasa por el punto es la cicloide.G.N. Berman La cicloide Historia de una curva asombrosa y de sus afines ISBN 978-5-396-00146-6
Evoluta miniatura|Generación de la evoluta de la cicloide desprendiendo un hilo tenso que rodea el arco de media cicloide (color rojo) La evoluta de la cicloide tiene la propiedad de ser exactamente la misma cicloide de la que proviene. Esto es, el extremo de un hilo tenso que inicialmente descansa sobre medio arco de una cicloide, una vez desenvuelto describe un arco de cicloide igual al que estaba adosado.
Demostración miniatura|Demostración de las propiedades de la evoluta de una cicloide Hay varias formas de demostrar esta afirmación. La que se presenta aquí utiliza la definición física de cicloide y la propiedad cinemática de que la velocidad instantánea de un punto es tangente a su trayectoria. En referencia a la imagen de la derecha, y son dos puntos tangentes que pertenecen a dos círculos rodantes. Los dos círculos comienzan a rodar con la misma velocidad y en la misma dirección sin deslizar. y comienzan a dibujar dos arcos de cicloide como en la imagen. Considerando la línea que conecta y en un instante arbitrario (línea roja), es posible demostrar que "la línea es en cualquier momento tangente en al arco inferior y ortogonal a la tangente en del arco superior". Según esto: están alineados porque (con igual velocidad de rotación) y por lo tanto . Dado que por construcción, se tiene que . Si es el punto de encuentro entre la perpendicular de a la recta de y la tangente al círculo de , entonces el triángulo es isósceles porque y (es fácil demostrar la construcción visualmente) . Para la igualdad mencionada anteriormente entre y , entonces y son isósceles. Trazando desde la recta ortogonal a , desde la tangente hasta el círculo superior y llamando al punto de unión, es fácil ver que es un rombo, usando los teoremas concernientes a los ángulos entre líneas paralelas Ahora, considérese la velocidad de . Se puede ver como la suma de sus dos componentes, la velocidad de rodadura y la velocidad de deriva . Ambas velocidades son iguales en módulo porque los círculos ruedan sin deslizamiento. es paralelo a y es tangente al círculo inferior en , y por lo tanto, es paralelo a . La velocidad total de es paralela a porque ambas son las diagonales de dos rombos con lados paralelos y tiene en común con el punto de contacto . Se deduce que el vector de velocidad se encuentra en la prolongación de . Debido a que es tangente al arco de cicloide en , se deduce que también que es tangente. Análogamente, se puede demostrar fácilmente que es ortogonal a (la otra diagonal del rombo). El extremo de un hilo inextensible inicialmente ceñido sobre el medio arco de cicloide inferior y limitado al círculo superior en , seguirá al punto en su trayectoria sin cambiar su longitud porque la velocidad del extremo es en cada momento ortogonal al hilo (sin estiramiento ni compresión). El hilo será al mismo tiempo tangente en al arco inferior, debido a la tensión y a las condiciones consideradas. Si no fuera tangente, habría una discontinuidad en y, en consecuencia, aparecerían fuerzas de tensión desequilibradas.
Fórmulas de longitud y área Para una cicloide común, se tiene que: La longitud del arco OM es La longitud de una rama es El área de la región cerrada, delimitada por una rama y el eje Ox, es I. Bronshtein et al Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes Editorial Mir Moscú (1973) Estas fórmulas se demuestran a continuación.
Longitud del arco miniatura|La longitud de la cicloide como consecuencia de la propiedad de su evoluta La longitud del arco S de una cicloide viene dada por
Otra forma inmediata de calcular la longitud de la cicloide dadas las propiedades de su evoluta es considerar que cuando un cable que describe una evoluta ha sido completamente desenrollado, se extiende a lo largo de dos diámetros, una longitud de 4r. Debido a que el cable no cambia de longitud mientras se desprende, se deduce que la longitud de medio arco de cicloide es 4r y un arco completo es 8r.
Área Un arco de una cicloide generado por un círculo de radio r puede ser parametrizado por
con
Entonces
El área bajo el arco es
Este resultado, y algunas generalizaciones, pueden obtenerse sin cálculos mediante el cálculo visual de Mamikon.
Centro de gravedad