Este artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véase Vector thumb|Representación artística de un espacio vectorial. En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.

Historia Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al : geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana. Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores. Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.

La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del . Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector). Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.

En 1857, Cayley introdujo la notación matricial que permite una armonización y simplificación de las aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones. En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920. y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

Notación Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo , se distinguen los elementos de y los de .

Los elementos de suelen denotarse por

y son llamados vectores.

Dependiendo las fuentes que se consulten, también es común denotarlos por

y si el texto es de física entonces suelen denotarse por

Mientras que los elementos de se denotan como

y son llamados escalares.

Definición Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, digamos , dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que:

Tenga la propiedad conmutativa:

Tenga la propiedad asociativa:

Exista el elemento neutro:

Exista el elemento simétrico:

Y tenga la operación producto por un escalar:

operación externa tal que: Tenga la propiedad asociativa:

Exista el elemento neutro:

Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma vectorial:

Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma escalar:

Observaciones La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.

Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:

Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo y admiten una redefinición del tipo y cumpliendo las 8 condiciones exigidas. Si supiésemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4. Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probados los apartados 5 y 6. Si no, se dice lo contrario: .

Propiedades

Si

Si es cierto. Si entonces:

Notación

.

Observación

Si Si

Primer ejemplo con demostración Se quiere probar que es un espacio vectorial sobre

Si juega el papel de y el de :

Los elementos:

son, de forma genérica:

es decir, pares de números reales. Por claridad se conserva la denominación del vector, en este caso u, en sus coordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamente

En se define la operación suma:

donde:

y la suma de u y v sería:

donde:

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.

La operación interna suma tiene las propiedades:

1) La propiedad conmutativa, es decir:

2) La propiedad asociativa:

3) tiene elemento neutro :

4) tenga elemento opuesto:

La operación producto por un escalar:

El producto de a y u será:

donde:

esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aun así está bien definida.

5) tenga la propiedad asociativa:

Esto es:

6) sea elemento neutro en el producto:

Que resulta:

Que tiene la propiedad distributiva:

7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:

8) distributiva por la derecha:

Que en este caso tenemos:

Queda demostrado que es espacio vectorial.

Ejemplos

Espacio de un elemento Existe un ejemplo trivial de espacio vectorial, que es el espacio vectorial de un único elemento, . Dado que todo espacio vectorial tiene al menos un elemento, el elemento neutro de la suma, este espacio es el más pequeño posible.

Cuerpos Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre sí mismo. Su suma como espacio vectorial es su suma como cuerpo, y el producto por escalares es el producto del cuerpo. Los axiomas de espacio vectorial se satisfacen por las propiedades de las operaciones del cuerpo: la condición de que se cumple por la propiedad asociativa del producto del cuerpo. Por ejemplo, el conjunto de los números reales es un -espacio vectorial, mientras que el conjunto de los números complejos es un -espacio vectorial.

Además, todo cuerpo es un espacio vectorial sobre sus subcuerpos. Por ejemplo, los números complejos forman un -espacio vectorial, ya que los números reales forman un subcuerpo de los complejos.

Espacios de coordenadas Dado un cuerpo , el conjunto de -tuplas forma un espacio vectorial, donde la suma y el producto por escalares se definen por componentes. Por ejemplo, el plano euclídeo es un espacio vectorial donde la suma de dos pares y es .

Espacios de matrices Los espacios de matrices de tamaño sobre un cuerpo forman un espacio vectorial, donde la suma y el producto por escalares se definen por componentes.

Espacios de polinomios El espacio de polinomios (formado por los polinomios en la variable y con coeficientes en un cuerpo ) es un espacio vectorial con la suma y el producto por escalares de los polinomios. Dados dos polinomios y , su suma será el polinomio , mientras que el producto de un escalar por el polinomio será . Multiplicar un polinomio por un escalar nunca da lugar a un polinomio de mayor grado que el original, mientras que sumar dos polinomios tampoco resultará en un polinomio de grado mayor que el mayor de los grados de los sumandos. Debido a esto, las operaciones suma y producto por escalares son cerradas en el subconjunto de polinomios de grado menor o igual que , denotado aquí por . Por lo tanto, el subconjunto es también un espacio vectorial para cualquier grado .

Espacios de funciones 200px|thumb|Suma de dos funciones y . El resultado toma en cada punto el valor . Se pueden definir las operaciones de espacio vectorial para muchas de las funciones de interés en el cálculo o el análisis matemático. Por ejemplo, con las funciones de variable real que toman valores reales: la suma de dos funciones y se definiría en cada punto a partir de los valores de y de en como . Del mismo modo, el producto de una función por un escalar se definiría como en cada punto . Cuando el espacio de interés está compuesto por funciones que tienen una determinada propiedad, se tendrá un espacio vectorial si sumar dos funciones o multiplicarlas por escalares mantienen dicha propiedad; esto es equivalente a exigir que la suma sea una operación interna y el producto por escalares una operación externa. Por ejemplo, en el caso de las funciones reales de variable real que son continuas: puesto que sumar dos funciones continuas da lugar a una función continua y multiplicar una función continua por un número real da lugar a una función continua, se deduce que las funciones continuas forman un espacio vectorial sobre los números reales, en ocasiones denotado . Otros ejemplos de espacios vectoriales de este tipo son las funciones derivables y, en general, las funciones derivables de clase y las infinitamente derivables; también las funciones integrables dan lugar a espacios vectoriales.

Otros espacios funcionales de interés son los espacios y los espacios de Sóbolev, que son un ejemplo de espacios vectoriales con estructura adicional (espacios normados). Son de utilidad en teoría de la medida y el análisis funcional.

Bases y dimensión de un espacio vectorial

250px|thumb|Cada vector es combinación lineal de forma única de los vectores y . Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores respecto de los cuales se puede expresar cualquier otro vector del espacio de manera única. Si es un espacio vectorial sobre un cuerpo , se dirá que los vectores formarán una base de si se cumplen las siguientes dos condiciones: Ser un sistema generador: para cualquier otro vector , existen unos escalares tales que el vector se puede expresar como la combinación lineal .