La lógica proposicional, también llamada lógica de enunciados, lógica de orden cero o cálculo proposicional, es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones o enunciados, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas lógicas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.
Las lógicas proposicionales carecen de cuantificadores o variables de individuo, pero tienen variables proposicionales (es decir, que se pueden interpretar como proposiciones con un valor de verdad definido), de ahí el nombre proposicional. Los sistemas de lógica proposicional incluyen además conectivas lógicas, por lo que dentro de este tipo de lógica se puede analizar la inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.
Como las lógicas proposicionales no tienen cuantificadores o variables de individuo, cualquier secuencia de signos que constituya una fórmula bien formada admite una valoración en la proposición es verdadera o falsa dependiendo del valor de verdad asignado a las proposiciones que la compongan. Esto implica que cualquier fórmula bien formada define una función proposicional. Por tanto, cualquier sistema lógico basado en la lógica proposicional es decidible y en un número finito de pasos se puede determinar la verdad o falsedad semántica de una proposición. Esto hace que la lógica proposicional sea completa y con una semántica muy sencilla.
Introducción
Considérese el siguiente argumento:
Mañana es miércoles o mañana es jueves. Mañana no es jueves. Por lo tanto, mañana es miércoles.
Es un argumento válido. Quiere decir que es imposible que las premisas (1) y (2) sean verdaderas y la conclusión (3) falsa.
Sin embargo, a pesar de que el argumento sea válido, esto no quiere decir que la conclusión sea verdadera. En otras palabras, si las premisas son falsas, entonces la conclusión también podría serlo. Pero si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez del argumento no depende del significado de las expresiones «mañana es miércoles» ni «mañana es jueves», sino de la estructura misma del argumento. Estas premisas podrían cambiarse por otras y el argumento permanecería válido. Por ejemplo:
Hoy está soleado o está nublado. Hoy no está nublado. Por lo tanto, hoy está soleado.
La validez de los dos argumentos anteriores depende del significado de las expresiones «o» y «no». Si alguna de estas expresiones se cambia por otra, entonces los argumentos podrían dejar de ser válidos. Por ejemplo, considérese el siguiente argumento inválido:
Ni está soleado ni está nublado. No está nublado. Por lo tanto, está soleado.
Estas expresiones como «o» y «no», de las que depende la validez de los argumentos, se llaman conectivas lógicas. En cuanto a expresiones como «está nublado» y «mañana es jueves», lo único que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letra p (de «proposición») luego q, r, s, etc. Es así que los dos primeros argumentos de esta sección se podrían reescribir así:
p o q No q Por lo tanto, p
Y el tercer argumento, a pesar de no ser válido, se puede reescribir así:
Ni p ni q No q Por lo tanto, p
Conectivas lógicas
A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas en lenguaje formal.
ConectivaExpresión en ellenguaje naturalEjemploSímbolo eneste artículoSímbolosalternativos Negaciónno No está lloviendo. Conjuncióny Está lloviendo y está nublado.& Disyuncióno Está lloviendo o está soleado.| Condicional materialsi... entonces Si está soleado, entonces es de día. Bicondicionalsi y solo si Está nublado si y solo si hay nubes visibles. Disyunción opuestani... ni Ni está soleado ni está nublado. Disyunción exclusivao bien... o bien O bien está soleado, o bien está nublado.
En la lógica proposicional, las conectivas lógicas se tratan como funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la conectiva lógica «no» es una función que si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la función «no» a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será verdadero que «no está lloviendo».
El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.
NegaciónConjunciónDisyunciónCondicionalBicondicionalDisyunción exclusiva
Leyes notables en lógica Entre las reglas de la lógica proposicional clásica algunas de la más notables son listadas a continuación: Ley de doble negación. Leyes de idempotencia. Leyes Asociatividad. Leyes conmutativas. Leyes distributivas. Leyes de De Morgan. Otras leyes como el principio del tercero excluido son admisibles en lógica clásica, pero en lógica intuicionista y con fines a sus aplicaciones matemáticas no existe un equivalente del tercero excluido.
Límites de la lógica proposicional
La maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la validez de una gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen argumentos que son intuitivamente válidos, pero cuya validez no se puede probar por la lógica proposicional. Por ejemplo, considérese el siguiente argumento:
Todos los hombres son mortales. Sócrates es un hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal.
Como este argumento no contiene ninguna de las conectivas «no», «y», «o», etc., según la lógica proposicional, su formalización será la siguiente:
p q Por lo tanto, r
Pero esta es una forma de argumento inválida, y eso contradice nuestra intuición de que el argumento es válido. Para teorizar sobre la validez de este tipo de argumentos, se necesita investigar la estructura interna de las variables proposicionales. De esto se ocupa la lógica de primer orden. Otros sistemas formales permiten teorizar sobre otros tipos de argumentos. Por ejemplo la lógica de segundo orden, la lógica modal y la lógica temporal.
Dos sistemas formales de lógica proposicional A continuación se presentan dos sistemas formales estándar para la lógica proposicional. El primero es un sistema axiomático simple, y el segundo es un sistema sin axiomas, de deducción natural.
Sistema axiomático
Alfabeto
El alfabeto de un sistema formal es el conjunto de símbolos que pertenecen al lenguaje del sistema. Si L es el nombre de este sistema axiomático de lógica proposicional, entonces el alfabeto de L consiste en: Una cantidad finita pero arbitrariamente grande de variables proposicionales. En general se las toma del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, etc., y utilizando subíndices cuando es necesario o conveniente. Las variables proposicionales representan proposiciones como "está lloviendo" o "los metales se expanden con el calor". Un conjunto de operadores lógicos: Dos signos de puntuación: los paréntesis izquierdo y derecho. Su única función es desambiguar ciertas expresiones ambiguas, en exactamente el mismo sentido en que desambiguan la expresión 2 + 2 ÷ 2, que puede significar tanto (2 + 2) ÷ 2, como 2 + (2 ÷ 2).
Gramática
Una vez definido el alfabeto, el siguiente paso es determinar qué combinaciones de símbolos pertenecen al lenguaje del sistema. Esto se logra mediante una gramática formal. La misma consiste en un conjunto de reglas que definen recursivamente las cadenas de caracteres que pertenecen al lenguaje. A las cadenas de caracteres construidas según estas reglas se las llama fórmulas bien formadas. Las reglas del sistema L son:
Las variables proposicionales del alfabeto de L son fórmulas bien formadas. Si es una fórmula bien formada de L, entonces también lo es. Si y son fórmulas bien formadas de L, entonces , , y también lo son. Solo las expresiones que pueden ser generadas mediante las cláusulas 1 a 3 en un número finito de pasos son fórmulas bien formadas de L.
Según estas reglas, las siguientes cadenas de caracteres son ejemplos de fórmulas bien formadas:
Y los siguientes son ejemplos de fórmulas mal formadas:
{|width="600px" !align="left"|Fórmula !align="left"|Error !align="left"|Corrección
|Sobran paréntesis
|Sobran paréntesis
|Sobran paréntesis
|Faltan paréntesis
|Faltan paréntesis
Por otra parte, dado que la única función de los paréntesis es desambiguar las fórmulas, en general se acostumbra omitir los paréntesis externos de cada fórmula, ya que estos no cumplen ninguna función. Así por ejemplo, las siguientes fórmulas generalmente se consideran bien formadas:
Otra convención acerca del uso de los paréntesis es que las conjunciones y las disyunciones tienen «menor jerarquía» que los condicionales materiales y los bicondicionales. Esto significa que dada una fórmula sin paréntesis, las conjunciones y las disyunciones deben agruparse antes que los condicionales materiales y los bicondicionales. Por ejemplo:
{|width="600px" !align="left"|Fórmula !align="left"|Lectura correcta !align="left"|Lectura incorrecta
Estas convenciones son análogas a las que existen en el álgebra elemental, donde la multiplicación y la división siempre deben resolverse antes que la suma y la resta. Así por ejemplo, la ecuación 2 + 2 × 2 podría interpretarse como (2 + 2) × 2 o como 2 + (2 × 2). En el primer caso el resultado sería 8, y en el segundo caso sería 6. Pero como la multiplicación siempre debe resolverse antes que la suma, el resultado correcto en este caso es 6, no 8.
Axiomas Los axiomas de un sistema formal son un conjunto de fórmulas bien formadas que se toman como punto de partida para demostraciones ulteriores. Un conjunto de axiomas estándar es el que descubrió Jan Łukasiewicz:
Reglas de inferencia
Una regla de inferencia es una función que va de conjuntos de fórmulas a fórmulas. Al conjunto de fórmulas que la función toma como argumento se lo llama premisas, mientras que a la fórmula que devuelve como valor se la llama conclusión. En general se busca que las reglas de inferencia transmitan la verdad de las premisas a la conclusión. Es decir, que sea imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. En el caso de L, la única regla de inferencia es el modus ponens, el cual dice:
Recordando que no son fórmulas, sino metavariables que pueden ser reemplazadas por cualquier fórmula bien formada.
Deducción natural
Sea , donde , , , , se define como: El conjunto Alfa es un conjunto finito de símbolos que es lo suficientemente grande como para satisfacer las necesidades de una discusión dada, por ejemplo:
El conjunto Omega como partición de :
En el siguiente ejemplo es de un cálculo proposicional, las reglas presentadas de transformación tienen que ser interpretadas como reglas de inferencia de un sistema de deducción natural. El sistema particular aquí presentado no tiene puntos iniciales, lo que significa que su interpretación para las aplicaciones lógicas deriva de un teorema de conjuntos de axiomas vacíos.
*El conjunto de puntos iniciales está vacío, este es .
*El conjunto de reglas de transformación se describe como :