En matemática, un número natural a es un divisor unitario de un número b si a es un divisor de b y si a y son coprimos, no teniendo un factor común diferente de 1. Así, 5 es un divisor unitario de 60, puesto que 5 y tienen únicamente 1 como factor común, mientras que 6 es un divisor, pero no un divisor unitario de 60, dado que 6 y tienen un factor común distinto de 1, que es 2. 1 es un divisor unitario de cualquier número natural.
Equivalentemente, un divisor a de b es un divisor unitario si y solo si todo factor primo de a tiene la misma multiplicidad en a como esta la tiene en b.
La función suma de divisores unitarios se denota mediante la letra minúscula griega sigma, así: σ*(n). La suma de las k-ésimas potencias de los divisores unitarios se denota por σ*k(n):
Se denomina número perfecto unitario a la suma de todos los divisorios unitarios propios de un número natural compuesto. Para que un numeral natural tenga divisor unitario tiene que ser compuesto
Propiedades El número de divisores unitarios de un número n es 2k, donde k es el número de factores primos distintos de n. La suma de divisores unitarios de n es impar si n es una potencia de 2 (incluyendo 1), y par de cualquier otra forma.
Ambas, cantidad y suma de divisores unitarios de n son funciones multiplicativas de n que no son completamente multiplicativas. La función generadora de Dirichlet es
Divisores unitarios impares La suma de las k-ésimas potencias de los divisores unitarios impares es
Esta también es multiplicativa, con una función generadora de Dirichlet
Divisores bi-unitarios Un divisor d de n es un divisor bi-unitario si el máximo común divisor de d y n/d es 1. El número de divisores bi-unitarios de n es una función multiplicativa de n con orden medio , dondeIvić (1985) p.395
Un número perfecto bi-unitario es aquel igual a la suma de sus divisores propios bi-unitarios. Los únicos números así son 6, 60 y 90.Sandor et al (2006) p.115
Referencias y notas
Section B3.
Enlaces externos
Sucesiones OEIS es σ0(n) es σ1(n) a son σ2(n) a σ8(n) es σ(o)*0(n) es σ(o)*1(n)
Categoría:Teoría de números elemental