En el campo matemático de la teoría de grafos, un grafo distancia-transitivo es un grafo tal que, dados dos vértices cualesquiera v y w a cualquier distancia i, y otros dos vértices cualesquiera x y y a la misma distancia, existe un automorfismo del grafo que transforma v en x y w en y.
Un grafo distancia-transitivo es vértice-transitivo y simétrico así como distancia-regular.
El interés en los grafos distancia-transitivos radica en parte en que tienen un grupo de automorfismos grande. Algunos grupos finitos interesantes son los grupos de automorfismos de grafos distancia-transitivos, especialmente de aquellos cuyo diámetro es 2.
Los 12 grafos distancia-transitivos Los grafos distancia-transitivos fueron definidos por primera vez en 1971 por Norman L. Biggs y D. H. Smith, quienes demostraron que sólo hay 12 grafos distancia-transitivos cúbicos finitos. Estos son: Nombre Vértices Diámetro Cintura Matriz de intersección Grafo completo K4 4 1 3 {3;1} Grafo bipartito completo K3,3 6 2 4 {3,2;1,3} Grafo de Petersen 10 2 5 {3,2;1,1} Grafo del cubo 8 3 4 {3,2,1;1,2,3} Grafo de Heawood 14 3 6 {3,2,2;1,1,3} Grafo de Papo 18 4 6 {3,2,2,1;1,1,2,3} Grafo de Coxeter 28 4 7 {3,2,2,1;1,1,1,2} Grafo de Tutte-Coxeter 30 4 8 {3,2,2,2;1,1,1,3} Grafo del dodecaedro 20 5 5 {3,2,1,1,1;1,1,1,2,3} Grafo de Desargues 20 5 6 {3,2,2,1,1;1,1,2,2,3} Grafo de Biggs-Smith 102 7 9 {3,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,1,1,3} Grafo de Foster 90 8 10 {3,2,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,2,2,2,3}
Independientemente, un grupo ruso liderado por Georgy Adelson-Velsky demostró en 1969 que existían grafos que son distancia-regulares pero no distancia-transitivos. El único grafo de este tipo de grado tres es la 12-jaula de Tutte de 126 vértices. El menor grafo distancia-regular que no es distancia-transitivo es el grafo de Shrikhande. Se conocen listas completas de grafos distancia-transitivos para algunos grados mayores que tres, pero la clasificación de grafos distancia-transitivos de grados arbitrariamente grandes continúa abierta.
La familia asintótica más simple de ejemplos de grafos transitivos de distancia son los grafos hipercúbicos. Otras familias son los grafos cúbicos plegados y los grafos de torre cuadrados. Las tres familias tienen un grado arbitrariamente alto.
Referencias
Bibliografía Trabajos iniciales . . . . .
Relaciones de datos , chapter 20. . , chapter 7. . , section 4.5. .
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