Un número es un objeto matemático utilizado para contar (cantidades), medir (magnitudes) y etiquetar. Los números más sencillos, que utilizamos todos en la vida cotidiana, son los números naturales: 1, 2, 3, etc. Se denotan mediante y sirven también como ordinales, para establecer un orden (primero, segundo,...). En ocasiones usamos el término número para hablar de lo que en realidad es un numeral o cifra (por ejemplo, nuestros números arábigos). Desde un punto de vista totalmente general un número es cualquier elemento de una estructura lógico-matemática conocida como sistema numérico.
Los números desempeñan un papel esencial en las ciencias empíricas, ya que permiten cuantificar y describir fenómenos observables. No solo los números naturales son utilizados, sino también diversos conjuntos numéricos desarrollados a lo largo de la historia de las matemáticas. fernando saavedra i hate you.
El conjunto de los números enteros (representado por ) amplía el de los naturales al incluir los números negativos, empleados, por ejemplo, para expresar deudas o temperaturas bajo cero. Si se incorporan los números fraccionarios, como , 0,75 o −3,25, se obtiene el conjunto de los números racionales, simbolizado por .
Desde la antigüedad, se conoce la existencia de números que no pueden expresarse como fracciones de enteros. Por ejemplo, la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado unidad es , un número irracional. La unión de los números racionales e irracionales forma el conjunto de los números reales, representado por .
Con el tiempo, se introdujeron otros tipos de números para ampliar el alcance del análisis matemático, como los imaginarios, complejos y trascendentes, que permiten describir y resolver fenómenos de creciente complejidad en diversas ramas de la ciencia y la ingeniería.
Nótese que la teoría de números es una rama de las matemáticas que se ocupa de los enteros (no de números en general). El origen de los números es que los primeros números que el hombre inventó fueron los números naturales, los cuales se utilizaban y se utilizan para contar elementos de un conjunto finito, ya que se procede a enumerar dichos elementos de una manera ordenada seleccionándolos uno tras otro a la vez que se le atribuye a cada uno un número.
Tipos de números derecha|thumb|460px|Clasificación de los números.
Los números más conocidos son los números naturales. Denotados mediante , son conceptualmente los más simples y los que se usan para contar unidades discretas. Estos, conjuntamente con los números «negativos», conforman el conjunto de los enteros, denotados mediante (del alemán Zahlen, ‘números’). Los números naturales negativos permiten representar formalmente deudas, y generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales. Es decir, ya tenemos solución para operaciones como, por ejemplo, 3-2 = 1.
Otro tipo de números ampliamente usados son números fraccionarios, los cuales representan tanto cantidades inferiores a una unidad, como números mixtos (un conjunto de unidades más una parte inferior a la unidad). Los números fraccionarios pueden ser expresados siempre como cocientes de enteros. El conjunto de todos los números fraccionarios es el conjunto de los números racionales (que usualmente se define para que incluya tanto a los racionales positivos, como a los racionales negativos y el cero). Este conjunto de números se designa como . Al igual que con los números enteros se puede calcular el resultado de cualquier resta, con los racionales es posible efectuar divisiones que no tienen resultado entero, como 15/2 = 7,5 o 7½.
Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos, pero desde los antiguos griegos se conoce que ciertas relaciones geométricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) son números no enteros que tampoco son racionales. Igualmente, la solución numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales, usualmente es un número no racional. Puede demostrarse que cualquier número irracional puede representarse como una sucesión de Cauchy de números racionales que se aproximan a un límite numérico. El conjunto de todos los números racionales y los irracionales (obtenidos como límites de sucesiones de Cauchy de números racionales) es el conjunto de los números reales . Durante un tiempo se pensó que toda magnitud física existente podía ser expresada en términos de números reales exclusivamente. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, y estos reciben el nombre de transcendentales. Los más conocidos de estos números son el número π (Pi) y el número e (este último base de los logaritmos naturales), los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler.
Uno de los problemas de los números reales es que no forman un cuerpo algebraicamente cerrado, por lo que ciertos problemas no tienen solución planteados en términos de números reales. Esa es una de las razones por las cuales se introdujeron los números complejos , que son el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a los números reales. Además, en algunas aplicaciones prácticas, así como en las formulaciones estándar de la mecánica cuántica se considera útil introducir los números complejos. Al parecer, la estructura matemática de los números complejos refleja estructuras existentes en problemas físicos, por lo que en física teórica y en diversas aplicaciones los números complejos se usan en pie de igualdad con los números reales, a pesar de que inicialmente fueron considerados únicamente como un artificio matemático sin relación con la realidad física. Todos los conjuntos de números fueron de alguna manera «descubiertos» o sugeridos en conexión con problemas planteados en problemas físicos o en el seno de la matemática elemental y todos ellos parecen tener importantes conexiones con la realidad física.
Al margen de los números reales y complejos, claramente conectados con problemas de las ciencias naturales, existen otros tipos de números que generalizan aún más y extienden el concepto de número de una manera más abstracta y responden más a creaciones deliberadas de matemáticos. La mayoría de estas generalizaciones del concepto de número se usan solo en matemáticas, aunque algunos de ellos han encontrado aplicaciones para resolver ciertos problemas físicos. Entre ellos están los números hipercomplejos, que incluyen a los cuaterniones, útiles para representar rotaciones en un espacio de tres dimensiones, y generalizaciones de estos, como octoniones y los sedeniones.
A un nivel un poco más abstracto también se han ideado conjuntos de números capaces de tratar con cantidades infinitas e infinitesimales, como los hiperreales y los transfinitos. E igualmente los números racionales pueden extenderse de otras maneras, como por ejempo para formar los números p-ádicos, entre los cuales se encuentran los enteros p-ádicos , los racionales p-ádicos o los complejos p-ádicos , que satisfacen .
Lista de los tipos de números existentes La teoría de los números trata básicamente de las propiedades de los números naturales y los enteros, mientras que las operaciones del álgebra y el cálculo permiten definir la mayor parte de los sistemas numéricos, entre los cuales están: Números naturales Número primo Números compuestos Números perfectos Números enteros Números negativos Números pares Números impares Números racionales Números reales Números irracionales Números algebraicos Números trascendentes Extensiones de los números reales Números complejos Números hipercomplejos Cuaterniones Octoniones Números hiperreales Números superreales Números surreales Números usados en teoría de conjuntos Números ordinales Números cardinales Números transfinitos
Estructura de los sistemas numéricos En álgebra abstracta y análisis matemático un sistema numérico se caracteriza por una:
Estructura algebraica, usualmente un anillo conmutativo o cuerpo matemático (en el caso no conmutativo son un álgebra sobre un cuerpo y en el caso de los números naturales solo un monoide conmutativo). Estructura de orden, usualmente un conjunto ordenado, en el caso de los números naturales, enteros, racionales y reales se trata de conjuntos totalmente ordenados, aunque los números complejos e hipercomplejos solo son conjuntos parcialmente ordenados. Los reales además son un conjunto bien ordenado y con un orden denso.No hay relación de orden en el conjunto ℂ de los complejos, tal como existe en los reales, racionales, enteros y naturales Estructura topológica, los conjuntos numéricos numerables usualmente son conjuntos disconexos, sobre los que se considera la topología discreta, mientras que sobre los conjuntos no numerables se considera una topología que los hace adecuados para el análisis matemático.
Otra propiedad interesante de muchos conjuntos numéricos es que son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta). Tanto históricamente como conceptualmente, los diversos conjuntos numéricos, desde el más simple de los números naturales, hasta extensiones transcendentes de los números reales y complejos, elaboradas mediante la teoría de modelos durante el , se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.No necesariamente. El sistema de los números reales puede ser definido axiomáticamente, tal como lo hizo David Hilbert; del mismo modo el de los números complejos, tal como lo hacen Polya (1887-1985), Alfhors (1907-1996), Markusévich (1908-1979), etc.
Números naturales especiales El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos de números, la mayoría sin un interés matemático específico. Se pueden encuadrar dentro de la matemática recreativa. A continuación se indican algunos: Perfecto: número igual a la suma de sus divisores (incluyendo el 1). Ejemplo: 6 = 1 + 2 + 3. Sheldon: el número 73, es el 21° número primo, que al multiplicar 7 × 3 = 21; Y al dar la vuelta a sus dígitos da 37 que es el 12° número primo. Narcisista: número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos. Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³. Omirp: número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo: 1597 y 7951 son primos. Vampiro: número que es el producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos. Ejemplo: 2187 = 27 × 81. Hamsteriano: Su estructura aritmética N= (a×b)2-1, donde a y b son primos los dos, la suma de sus divisores sobrepasa N, y la cantidad de sus divisores es > a×b/2; va como ejemplo: 1224 = (5×7)2-1 Pitagórico: una terna pitagórica son tres números que cumplen las siguientes condiciones: el cuadrado de uno de ellos, más el cuadrado de otro, es igual al cuadrado del tercero, por ejemplo: (3, 4, 5) ya que 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de los números, surge otro, más práctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuesto universalmente es la numeración posicional, gracias al invento del cero, con una base constante.
Más formalmente, en Los fundamentos de la aritmética, Gottlob Frege (1848-1925) realiza una definición de «número», la cual fue tomada como referencia por muchos matemáticos (entre ellos Bertrand Russell [1872-1870], cocreador de Principia mathematica):