thumb|right|Dans le polygone régulier convexe à n côtés, l'angle au centre est de mesure 2a avec a = /n. En mathématiques, et plus précisément en algèbre, on peut chercher à calculer le polynôme minimal d'un nombre de la forme , ou avec rationnel, que nous appelons dans cet article une « valeur spéciale trigonométrique ».
Le polynôme minimal d'un nombre algébrique est le polynôme unitaire à coefficients rationnels de plus petit degré dont est racine.
Les mesures d'angles de la forme se rencontrent dans de nombreux problèmes géométriques ; en particulier, les mesures d'angles de la forme (pour tout entier ) correspondent aux angles au centre des polygones réguliers convexes.
Approche intuitive thumb|right|Pour établir que , on peut s'aider d'un triangle équilatéral. Lorsque l'on apprend la trigonométrie, on constate vite que le cosinus et le sinus des mesures de certains angles ont une forme particulière, qui fait intervenir des racines carrées. Ainsi, pour un angle de mesure 30 degrés, soit radians, le théorème de Pythagore permet de démontrer que : .
Cela revient à dire que est une des solutions de l'équation . L'autre solution de cette équation est , qui est aussi de la forme .
L'équation est polynomiale : elle s'exprime sous la forme , où est un polynôme. Comme est à coefficients rationnels, ses racines sont des nombres algébriques. De plus, est unitaire, c'est-à-dire que son coefficient dominant vaut 1, et irréductible sur , c'est-à-dire qu'il ne peut pas être factorisé en un produit de polynômes à coefficients rationnelsContrairement aux polynômes irréductibles sur (qui sont de degré 1 ou 2) ou sur (de degré 1), des polynômes irréductibles sur (comme ) existent en tout degré.. est donc de degré minimal parmi les polynômes à coefficients rationnels qui s'annulent en : c'est son polynôme minimal.
Les questions qui viennent naturellement sont : quelle est la façon la plus pertinente d'écrire un multiple rationnel de ?La réponseVoir « Écriture pertinente d'un multiple rationnel de » sur Wikiversité. est : si l'on s'intéresse à son cosinus, si l'on s'intéresse à son sinus ou à sa tangente ; son cosinus, son sinus et sa tangente sont-ils algébriques ?La réponse est oui ; peut-on toujours les exprimer à l'aide de racines carrées ? La réponse est cette fois non ; peut-on tout du moins toujours les exprimer à l'aide de racines n-ièmes ?La réponse est oui si l'on s'autorise à travailler dans les nombres complexes ; comment trouve-t-on les polynômes minimaux de ces nombres ?
On verra aussi que l'on peut réduire le degré de ces polynômes, quitte à ne plus travailler seulement avec des polynômes à coefficients rationnels.
Nature algébrique des valeurs spéciales trigonométriques Le théorème
Cette démonstration est courte mais utilise principalement le fait que l'ensemble des nombres algébriques est stable par somme et produit, ce qui est difficile à démontrer. On peut lui préférer une preuve utilisant des outils plus élémentaires .
Degré algébrique Le degré d'un nombre algébrique est le degré de son polynôme minimal. Derrick Lehmer a calculé le degré de . Son théorème 2 sur le degré de est faux... :
si et sont premiers entre eux,
le degré de vaut La fonction indicatrice d'Euler ne prenant que des valeurs paires à partir de , est bien entier.,
où est la fonction indicatrice d'Euler. La démonstration utilise simplement l'irréductibilité du -ième polynôme cyclotomique .
Grâce à l'identité trigonométrique , on en déduit facilement que
le degré de vautPour une formulation plus compliquée mais équivalente, voir par exemple . : n'est pas divisible par 4 ; si n est un multiple impair de 4; sinon, i.e. si n est un multiple de 8.
Quant au degré de , si et et sont premiers entre eux, il vaut. : si est divisible par 4 ; sinon.
Rationalité Les rationnels étant les nombres algébriques de degré 1, un corollaireBien qu'ayant été redémontré de nombreuses fois avant que Niven le mentionne comme simple corollaire, il porte le nom de « théorème de Niven »., corollaire 3.12 et notes. de la section précédente est que pour les angles multiples rationnels de , les seules valeurs rationnelles des fonctions trigonométriques usuelles sont : pour et . : , et ; pour . : et .
Expression des valeurs spéciales trigonométriques à l'aide de radicaux Expression avec des racines carrées Le polygone régulier à sommets est constructible (à la règle et au compas) si et seulement si est une puissance de 2. En effet, son angle au centre est , or un corollaire du théorème de Wantzel affirme que si un nombre est constructible alors son degré est une puissance de , et la réciproque est fausse en général mais vraie pour les « valeurs spéciales trigonométriques ».
Gauss a donné dès 1796 (sous une forme plus explicite) cette condition suffisante sur l'entier pour que le polygone régulier à sommets soit constructible, affirmant qu'elle est aussi nécessaire, ce que Wantzel a confirmé : c'est le théorème de Gauss-Wantzel.
Par exemple, l'heptagone régulier, l'ennéagone régulier et le hendécagone régulier ne sont pas constructibles car et , tandis que pour les autres valeurs de de à , le -gone régulier est constructible, comme l'explicite le tableau suivant (pour plus de valeurs de , voir cette table pour et cet article pour les valeurs spéciales trigonométriques exprimables avec des racines carrées). 124 10 4 8 4 6254 4232
Expression avec des racines n-ièmes Le polynôme minimal de est , dont les deux autres racines sont et . Comme ces trois racines sont réelles, on est dans le casus irreducibilis, qui ne peut justement se résoudre dans les nombres réels qu'en repassant par la trigonométrie. Cela explique qu'on ne trouvera jamais une expression de avec des racines carrées ou cubiques réelles dans un formulaire de trigonométrie : on ne peut qu'en donner une valeur approchée, ou indiquer son polynôme minimal, dont il est la seule racine positive.
Pourtant, une expression par radicaux de existe, à condition d'autoriser l'emploi de racines carrées et cubiques de nombres complexes ; cette expression est donnée par la méthode de CardanAvec la convention suivante : soit un nombre complexe , où est un nombre réel positif et est dans l'intervalle , la racine -ième « principale » de est . :
.
Il en va de même pour , lui aussi algébrique de degré 3.
Qu'en est-il pour les polynômes de degré plus élevé encore ? Abel et Galois ont montré qu'il est impossible d'exprimer en général les racines d'un polynôme de degré 5 ou plus par radicaux. Nous avons vu cependant, dans la section précédente, que certaines valeurs de , de degrés aussi grands qu'on veut, s'expriment par racines carrées donc par radicaux (voir par exemple l'expression de , de degré ).
En fait, possède toujours une expression par radicaux (de nombres complexes) Un survol de cette question sur le site de MathOverflow. en calcule une pour (de degré 5)., puisque le groupe de Galois de son polynôme minimal est abélien donc résoluble (il est isomorphe à (ℤ/nℤ)/{1, –1}, comme quotient du groupe de Galois de la -ième extension cyclotomique par le sous-groupe d'ordre 2 engendré par la conjugaison). Plus simplement, , et (avec rationnel) peuvent toujours s'exprimer trivialement par radicaux (complexes), puisque est une racine de l'unité.
Polynômes à coefficients non rationnels ConsidéronsBeaucoup d'autres exemples, dont un plus détaillé que celui-ci, figurent dans les quatre réels (pour premier avec ), de degré . On les calcule facilement : . est par conséquent racine des trois polynômes suivants, du second degré, à coefficients fatalement non tous rationnels :
et le polynôme minimal peut se factoriser de trois façons : . Les six facteurs du second degré sont à coefficients dans un corps quadratique ( égal à 6, 2 ou 3), c'est-à-dire la forme , avec et rationnels.
On trouve trois factorisations parce que le groupe de Galois de , (ℤ/24ℤ)/{1, –1}, est isomorphe à (ℤ/8ℤ) donc au groupe de Klein, qui a trois sous-groupes d'indice 2.
Dans le cas général (avec et et premiers entre eux), on trouvera au moins une factorisation de ce type (produit de deux polynômes à coefficients dans un même corps quadratique et de degré ) si (et seulement si) est divisible par 4. Il n'y en aura qu'une si (ℤ/nℤ)/{1, –1} est cyclique.
Calculer le polynôme minimal à coefficients rationnels Quelques polynômes annulateurs Pour tout rationnel , il est facileVoir de trouver un polynôme annulateur de , ou .
Pour , on déduit de la formule de Moivre que , où est un polynôme de degré à coefficients entiers (le -ième polynôme de Tchebychev de première espèce). Or pour , donc est racine du polynôme .
On en déduit facilement des polynômes annulateurs de degré pour et , grâce aux formules de l'angle double : .
Cette seconde démonstration de l'algébricité des « valeurs spéciales trigonométriques » est constructive, car elle fournit une expression d'un polynôme annulateur, c'est-à-dire d'un polynôme tel que pour , ou . Mais vu leurs degrés, les polynômes trouvés par cette méthode ne sont pas minimaux si .
On peut souvent construire des polynômes annulateurs de degrés plus petits. Par exemple si est impair, , on a : pour : ; donc pour : ; et pour : , ce qui fournit des polynômes annulateurs : pour : de degré , pour et : de degré . Si est premier, ils sont même de degré minimum, par identification directe (voir section suivante) ou simplement vu leurs degrés Ou encore, pour et , d'après le critère d'Eisenstein : cf. ..
Polynôme minimal de La méthode de Lehmer Reproduite par , qui tente d'en déduire une méthode pour . permet de calculer les polynômes minimaux des (pour et premiers entre eux) et d'en déduire ceux des . Nous la présentons ici uniquement dans le cas des cosinusVoir le théorème correspondant dans « Polynôme minimal de » sur Wikiversité, illustré par les exemples ou et plus généralement, puissance d'un nombre premier., sur l'exemple .
Soit le polynôme cyclotomique usuel : .
est de degré . On multiplie par : . On obtient un nouveau polynôme à coefficients entiers en , d'après le calcul fourni par les polynômes de Tchebychev : .
Cela a fonctionné parce que les polynômes cyclotomiques sont polynômes palindromiques, c'est-à-dire dont les coefficients sont identiques, qu'on les lise dans l'ordre des termes de degré croissant ou décroissant.
Pour , on a . Or par définition, le polynôme cyclotomique a justement pour racines les complexes avec et premiers entre eux. Le nombre est donc racine de : .
De plus, puisque est irréductible sur , l'est aussi.
On en déduit le polynôme minimal commun à , , et : .
Listes de polynômes minimaux Voici une liste des premiers polynômes minimauxVoir aussi « Polynômes annulateurs de nombres de la forme 2cos(2kπ╱n) » et de Extraite de ()., Le polynôme minimal de est égal à celui de si et se déduit de celui de sinon : voir Déduite de (), mais se déduit aussi de la colonne « Polynôme minimal de » : cf. note précédente. et Le polynôme minimal de se déduit de celui de par une formule de l'angle double, avec un calcul supplémentaire si est divisible par 4 : voir « Polynôme minimal de » sur Wikiversité, où les exemples sont traités.En partie () déduite de et () extraite de , mais se déduit aussi de la colonne « Polynôme minimal de » : cf. note précédente. pour :
Polynôme minimal de Polynôme minimal de Polynôme minimal de 124111010496847662544232
Notes et références Notes
Références
Voir aussi Bibliographie Peter Brown, The circle dividers, Parabola, vol. 36, , 2000 (preprint)
Articles connexes Table de lignes trigonométriques exactes Formules trigonométriques en kπ/7 Noyau de Dirichlet
Lien externe
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