Le théorème du point fixe de Ryll-Nardzewski est un théorème de point fixe d'analyse fonctionnelle, annoncé. puis démontré. par le mathématicien polonais , qui garantit l'existence d'un point fixe commun pour certains demi-groupes d'applications affines d'un compact convexe dans lui-même.
Énoncé
Dire que l'ensemble d'applications G est un demi-groupe signifie simplement qu'il est stable par composition.
L'hypothèse qu'il est non contractant sur Q est définie par :pour tous points distincts x et y dans Q, le vecteur nul n'appartient pas à l'adhérence de l'ensemble des T(x) – T(y), où T parcourt G.
Remarques Le plan de l'une des preuves.. est le suivant : par compacité, il suffit de démontrer l'existence d'un point fixe commun à un nombre fini d'éléments T, … T de G. Le théorème du point fixe de Markov-Kakutani montre que la moyenne de ces T admet un point fixe x. Il reste alors à montrer que ce point est fixe par chaque T, par l'absurde et en supposant même, sans perte de généralité, qu'aucun T ne le fixe. L'hypothèse que G est non contractant sur Q fournit dans ce cas une semi-norme continue p telle que pour tout T dans G et tout indice i, p(TTx – Tx) > 1. Or un lemme technique (déduit du théorème de Krein-Milman) montre que pour tout convexe non vide K faiblement compact et séparable, il existe un convexe fermé C strictement inclus dans K tel que le p-diamètre de K\C soit majoré par 1. On en tire facilement la contradiction souhaitée en prenant pour K l'enveloppe convexe fermée de Hx, où H est le sous-demi-groupe engendré par les T. L'hypothèse que G est non contractant est automatiquement vérifiée si X est un espace vectoriel normé et si les éléments de G sont des isométries. Un corollaire est l'existence d'une mesure de Haar sur tout groupe compact.
Notes et références
Liens externes
Ryll-Narzewski