Les inégalités de Bell, énoncées en 1964 par John Stewart Bell, sont la démonstration de l’impossibilité de reproduire toutes les prédictions de la mécanique quantique par une théorie locale à paramètres supplémentaires<ref name="ref_auto_1"> Alain ASPECT , Si EINSTEIN avait su", éditions Odile Jacob, 2025 p 151</ref>. Les postulats de la mécanique quantique imposent de ne pouvoir calculer qu’une probabilité de résultat. Albert Einstein pensait que la physique quantique était incomplète et que cet aspect probabiliste devait être rendu déterministe en complétant la physique quantique par des paramètres supplémentaires, appelés variables cachéesEinstein Podolky Rosen, Can Quantum-Mechanical Description Of Physical Reality Be Considered Complete", Physical Review Vol; 47 p ;15 mai 1935 p 777 </ref>.

Les inégalités de Bell, généralisées en 1969 par les travaux de Clauser, Horne, Shimony et Holt<ref>Clauser, Horne, Shimony et Holt, Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variables Theories” , Physical Review Letters vol. 23 N° 15 13-octobre-1969 p 880 (CHSH) ont permis, pour la première fois, d’envisager des expériences en laboratoire permettant de trancher le débat de la complétude de la physique quantique et conduisant à la deuxième révolution quantique : l’informatique quantique.

L’hypothèse d’Einstein, appelée réalisme local a été invalidée par de nombreuses expériences liées aux inégalités de Bell obligeant à renoncer à une ou plusieurs des trois hypothèses suivantes :

le principe de localité : deux objets distants ne peuvent avoir une influence instantanée l'un sur l'autre, car aucune information ne peut se propager entre les deux objets à une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide ; la causalité : l'état des particules est déterminé uniquement par leur expérience, c'est-à-dire leur état initial et l'ensemble des influences reçues dans le passé ; le réalisme qui, dans l'esprit de l'article original de Bell, signifie que les particules individuelles sont des entités qui possèdent des propriétés propres, véhiculées avec elles.

Histoire L’article EPR de 1935 envisage une expérience sur des paramètres (vitesse et quantité de mouvement) dont la mesure précise est difficilement réalisable et entachée du principe d'indétermination d'Heisenberg. De plus ces paramètres sont discrets (ils peuvent prendre un nombre infini de valeurs quelconques) .

David Bohm propose en 1951 d'abandonner ces paramètres et d'utiliser à leur place un paramètre dichotomique, le spin, qui ne peut prendre que 2 valeurs. La mesure du spin reste néanmoins difficilement réalisable. En 1957, David Bohm et Yakir Aharonov suggèrent de remplacer le spin par un autre paramètre dichotomique, la polarisation du photon dont la mesure est bien plus aisée. Ce type d'expérience sera noté EPRB.

C'est en 1964 que John Bell utilise cette idée et formule une inégalité : lors d'une expérience EPRB, les valeurs prédites pour un certain paramètre sont différentes selon que ces prédictions sont effectuées dans le cadre de la mécanique quantique ou dans le cadre d'une théorie locale à variables cachées : il ne reste plus qu'à réaliser cette expérience et à comparer les résultats pour trancher.

La première expérience indiquant une violation de l'inégalité de Bell a été menée par John Clauser et Stuart Freedman en 1972, mais sa précision était insuffisante pour qu'elle soit concluante. C'est Alain Aspect qui propose en 1975 une expérience suffisamment rigoureuse pour être irréfutable, qu'il réalise entre 1980 et 1982, ce qui lui a valu (Avec John Clauser et Anton Zeilinger) le prix Nobel de physique en 2022 "pour leurs expériences avec des photons intriqués établissant la violation des inégalités de Bell et ouvrant la voie à l'informatique quantique".. Depuis environ 2023, la non-localité quantique est testée avec un niveau de contrôle suffisant pour servir de ressource technologique et conduit à la deuxième révolution quantique https://www.usine-digitale.fr/quantique/le-francais-quobly-leve-115-millions-deuros-en-serie-a-pour-conquerir-le-marche-de-linformatique-quantique-avec-ses-qubits-sur-silicium.ZVU6GWVMZFB6NHZWGUPYWAH3CI.html.

Prémisses conduisant à l'élaboration des inégalités de Bell

Deux particules sont dites dans un état intriqué lorsque l'état des deux particules n'est pas factorisable en un produit tensoriel de deux états à une particule. Cela peut être obtenu, par exemple, lorsqu'une particule se scinde en deux particules corrélées (annihilation). Les lois de conservation conduisent à des valeurs identiques ou strictement opposées des propriétés de ces deux particules telles que l'impulsion ou le moment angulaire (l'état de spin). Lorsque l'on effectue une même mesure, par exemple, la mesure du spin dans une direction donnée, sur deux particules intriquées, on obtient deux résultats corrélés (deux résultats identiques dans le cas de la polarisation d'un photon). En pratique, cela s'appuie sur une série expérimentale répétitive, avec un appareillage bien défini.

Ce type de situation est décrit dans le paradoxe EPR. Lorsque Einstein, Podolsky et Rosen (« EPR ») usaient du phénomène de l'intrication pour défendre le réalisme, ils ne se doutaient pas d'avoir soulevé un autre problème encore plus intrigant. Le principe d'une corrélation systématique ne suscita pas plus d'interrogation au commencement. En effet, lors de la formulation du paradoxe en 1935, la prédictibilité certaine semblait être propre à certains types de vecteurs d'états, et en conformité avec la prédictibilité chère aux réalistesJ.A. Wheeler et W.H. Zurek, Quantum theory of measurement, éditions Zurek, Princeton University Press, 1983.

Une particule dans un état non polarisé peut être mesurée avec un spin vertical ou horizontal avec une chance sur deux. Et des mesures successives sur des particules dans les mêmes conditions d'expériences donneront des résultats imprévisibles. Cependant, dans le cas de particules intriquées, bien que les états des particules appariées soient localement aléatoires pour chaque couple de particules intriquées, on observe toujours une corrélation entre les deux résultats, sans que les états des particules respectives puissent se prédire. Donc, selon la mécanique quantique, l'appariement des particules intriquées apparaît comme étant non compréhensible dans un cadre réaliste, les particules appariées obéissant chacune à la loi des probabilités. Les résultats des mesures suivent en effet une probabilité aveugle selon l'école de Copenhague. En concevant ses fameuses inégalités, Bell ouvrait la voie à la mise sur pied d'un outillage théorique devant permettre de démontrer que la théorie quantique était incomplète. Il devrait exister des variables cachées faisant défaut à la théorie quantique, devant en théorie être mises à nu par les effets d'une observable Δ qui permettrait de mesurer un décalage par rapport aux prédictions quantiques de 41 % dans un espace de Hilbert (l'inégalité de Bell). Ainsi, Bell envisageait de démontrer le principe de séparabilitéJohn Stuart Bell, Physics, 1, 195. (1964)..

La puissance de prédiction théorique de la mécanique quantique a été vérifiée par diverses expériences construites sur base de la méthode fondée sur l'inégalité de Bell, détruisant jusqu'à ce jour l'argument d'incomplétude de la théorie quantique qui aurait dû dissiper l'incompréhension qui dérange tant les réalistes. Deux particules intriquées forment donc un seul et unique système, d'où la notion de non-séparabilité, appuyant la non-localité. Les particules intriquées semblent ainsi intimement liées, comme si, une fois intriquées, l'espace n'existait plus pour elles, contrevenant à la séparabilité compatible avec la physique relativiste.

Dans le cas de deux particules indépendantes, on décrira l'état comme :

Tandis que dans le cas intriqué une telle décomposition n'est pas possible.

Présentation et formulation simplifiée des inégalités de Bell

Une analogie est possible pour présenter et expliquer les idées qui sous-tendent les inégalités de BellCette présentation se fonde sur celle de Tim Maudlin Quantum Non-Locality & Relativity édition Wiley-Blackwell 2011, p. 14 et suivantes.

Le but est de trouver des relations, des inégalités, que doivent mathématiquement respecter les corrélations entre des paramètres mesurés sur deux particules, qui ont été en interaction, puis séparées et ne pouvant communiquer l'une avec l'autre. Dans ce cas, ces corrélations doivent être déterminées par des variables fixées lors de l'interaction, puis véhiculées avec les particules (ce que l'on appelle des variables cachées). Rappels des conditions réelles Les mesures de la polarisation de deux photons intriqués émis par une source unique (par exemple, à la suite d'une conversion paramétrique descendante spontanée ou une annihilation produisant une paire de photons) présentent des corrélations, quelle que soit leur séparation physique au moment de la mesure. Si on fait passer un des photons dans un filtre polarisant, il possède une certaine probabilité de traverser le filtre, ou d'être absorbé, en fonction de l'inclinaison du filtre par rapport à sa polarisation. Si le filtre est parallèle à sa polarisation, le photon traversera le filtre avec une probabilité de 100 %, si le filtre est incliné à 90° par rapport à la polarisation, il sera certainement absorbé. Les deux photons issus d'une même source ont la même polarisation, et présentent un comportement prévisible, et corrélé, quand ils sont confrontés à un polariseur. Pour des angles de 0°, 30° et 60°, on a les trois règles : si les deux polariseurs sont orientés dans la même direction (0°), les deux photons se comportent toujours de la même façon (transmis tous les deux ou absorbés tous les deux, selon l'angle du polariseur avec la polarisation) ; (R1) si les deux polariseurs sont inclinés avec un angle de 30° l'un par rapport à l'autre, alors les deux photons ont un comportement similaire dans exactement 3/4 des cas, et opposés dans 1/4 des cas ; (R2) si les deux polariseurs sont inclinés avec un angle de 60° l'un par rapport à l'autre, alors les deux photons ont un comportement similaire dans exactement 1/4 des cas, et opposés dans 3/4 des cas. (R3)

Plus généralement, la probabilité que le comportement des photons soit identique est de , où est l'angle entre les deux polariseurs.

Stratégie de simulation des conditions réelles Admettons maintenant que nous demandions à deux personnes de se mettre d'accord sur une stratégie pour essayer de simuler le comportement de la paire de photons. Elles sont d'abord réunies dans une pièce où elles peuvent se concerter sur une stratégie, puis elles sont séparées dans deux pièces, sans aucun moyen de communication. Une fois séparées, on leur pose une série de questions sous la forme « 0° ? », « 30° ? », « 60 °? », et elles doivent répondre « T » pour transmission et « A » pour absorption. Les questionneurs doivent poser leur question aléatoirement, sans connaître la question posée par l'autre expérimentateur, et ignorer la stratégie adoptée par les deux personnes.

Le but de la stratégie est de donner toujours la même réponse que l'autre personne quand la question posée est la même, d'être d'accord dans 75% des cas quand les deux questions diffèrent de 30°, et dans 25% des cas quand les deux questions diffèrent de 60° (c'est ce que les photons arrivent à faire, dans les mêmes conditions).

L'ensemble des possibilités de réponse est très restreint (trois questions, deux réponses possibles), et représenté par le tableau ci-dessous :

+ Ensembles de réponses possibles pour une mesure à un angle donné 0° 30° 60° Ensemble A (α) T T T Ensemble B (β) A T T Ensemble C (γ) T A T Ensemble D (δ) T T A

Inverser les réponses ne change rien concernant le fait que les choix soient semblables ou différents entre les deux personnes, et répondre T/T/T ou A/A/A correspond donc au même ensemble A de réponses.