En mathématiques, dans le domaine de l’analyse vectorielle, le théorème de Helmholtz-Hodge, également appelé théorème fondamental du calcul vectoriel, assure qu'un champ vectoriel se décompose en une composante « longitudinale » (irrotationnelle) et une composante « transverse » (solénoïdale), soit la somme du gradient d’un champ scalaire et du rotationnel d’un champ vectoriel. Ce théorème est nommé d'après le physicien prussien Hermann von Helmholtz et le mathématicien britannique William Hodge.
Ce résultat possède des applications importantes en électromagnétisme et en mécanique des fluides ; il est également exploité en sismologie.
Énoncé du théorème
Remarques :
L’égalité s’appelle la décomposition de Helmholtz. Lorsque le domaine est borné, il n’est pas toujours possible de garantir l’orthogonalité de la décomposition et elle n’est jamais unique. L’hypothèse de connexité n’est pas essentielle puisque le théorème peut s’appliquer séparément à chaque partie connexe. Certaines hypothèses de l’énoncé peuvent être affaiblies, en particulier sur la régularité de et la forme de , ou sur la décroissance de à l’infiniY. F. Gui and W. B. Dou : « A RIGOROUS AND COMPLETED STATEMENT ON HELMHOLTZ THEOREM », Progress In Electromagnetics Research, PIER 69, 287–304, 2007 .
Courte preuve à l'aide de la transformée de Fourier
Le principal souci avec cette approche est la question de la convergence des transformées de Fourier, notamment dans le cas où le domaine est en entier.
Contre-exemple à l’unicité de la décomposition
Considérons une décomposition d’un champ supposée vérifiée sur un domaine donné a priori quelconque :
Partant d’un vecteur constant et non nul choisi arbitrairement, puis définissant les deux champs
qui vérifient
on obtient une deuxième décomposition distincte de la première en se basant sur les champs
Par ailleurs, même si les termes de la première décomposition sont orthogonaux, il est toujours possible de choisir un de norme suffisamment élevée de sorte que ce ne soit plus le cas pour la seconde.
Cet exemple simple montre que sur un domaine compact, même avec une frontière parfaitement régulière (une sphère par exemple), l’unicité de la décomposition n’est jamais assurée, même pour un champ infiniment régulier et quelles que soient les conditions de bord qu’il puisse satisfaire.
Dans par contre, un champ constant non nul ne respecterait pas l’hypothèse du théorème relative à la décroissance à l’infini.
Autre formulation
Alors que le théorème précédent affirme une décomposition d’un champ en une composante solénoïdale et une composante irrotationnelle, la formulation suivante affirme une recomposition d’un champ à partir d’une divergence et d’un rotationnel. Bien que ces deux résultats ne soient pas directement liés, les arguments des preuves respectives se basent sur des relations semblables. Ils sont toutefois dénommés théorème de Helmholtz.
Remarque :
Le champ qui est choisi comme candidat dans la démonstration précédente est construit à partir de la décomposition de Helmholtz et des expressions caractérisant et dans le théorème de Helmholtz-Hodge. En effet :
correspondant à la décomposition
s’écrivent respectivement sur un compact :
Ainsi, lorsque , les intégrales de surface disparaissent, ce qui conduit au corollaire suivant :
Application aux potentiels
Dans l’espace entier
Dans et sous les hypothèses du théorème de Helmholtz-Hodge, les expressions caractérisant les champs et permettent d’affirmer les propriétés suivantes : Si le champ est irrotationnel , alors il dérive d’un potentiel scalaire : il existe un champ scalaire tel que
Si le champ est solénoïdal , alors il dérive d’un potentiel vecteur : il existe un champ vectoriel tel que
Dans une partie de l’espace
Sur un domaine qui n’est qu’une partie de , l’existence de potentiels est plus complexe : en particulier, pour une surface fermée avec des "trous" (par exemple un tore) un termes en plus doit être rajouté. Ce terme appartiendra au noyau du laplacien sur cette surface (sans "trou" ce noyau ne contient que 0)
Potentiel scalaire
Si est connexe par arcs et simplement connexe (sans « trous »), un champ continu et irrotationnel admet un potentiel scalaire.
On le montre en choisissant un point arbitraire dans , puis en définissant « explicitement » pour tout dans :
où est une courbe orientée reliant à .
La relation conduit bien à et la consistance de cette définition découle du théorème du rotationnel (celui qui identifie le flux du rotationnel d’un champ à travers une surface et la circulation du champ sur sa frontière) car il assure que la valeur est indépendante du choix du chemin : pour deux chemins reliant , leur réunion est une courbe fermée sur laquelle une surface de bord peut être construite (c’est précisément ici qu’intervient l’hypothèse de connexité simple).
Potentiel vecteur
Si est un ouvert étoilé et que le champ est solénoïdal et de classe , alors il dérive d’un potentiel vecteur : il existe un champ vectoriel tel que
Après l’avoir formulée adéquatement en termes de formes différentielles, cette propriété est une application directe du lemme de Poincaré qui affirme qu’une forme différentielle de degré un, de classe sur un ouvert étoilé est exacte si et seulement si elle est fermée.
Références
Voir aussi Analyse vectorielle et les articles s'y référant. Potentiel électrique Potentiel vecteur du champ magnétique Potentiels retardés
Helmholtz-Hodge Catégorie:Analyse vectorielle Helmholtz-Hodge Catégorie:Électromagnétisme