En théorie additive des nombres, le théorème des nombres polygonaux de Fermat indique que tout entier strictement positif est une somme d'au plus  nombres -gonaux (non nuls), c'est-à-dire de nombres de la forme .

Par exemple, tout entier strictement positif peut être écrit comme la somme de trois nombres triangulaires ou moins, comme la somme de quatre nombres carrés ou moins, comme la somme de cinq nombres pentagonaux ou moins, et ainsi de suite. Le cas particulier des nombres carrés est le théorème des quatre carrés de Lagrange.

Exemples Par exemple, trois représentations du nombre 17, sont montrées ci-dessous : 17 = 10 + 6 + 1 (nombres triangulaires) ; 17 = 16 + 1 (nombres carrés) ; 17 = 12 + 5 (nombres pentagonaux).

Histoire vignette|Entrée du Journal mathématique de Gauss sur les sommes triangulaires (1796). Le nom de ce théorème honore Pierre de Fermat, qui l'a énoncé sans preuve en 1638, promettant de le démontrer dans un travail séparé, qui n'est jamais paru.. Joseph-Louis Lagrange a démontré le cas carré en 1770 : c'est le théorème des quatre carrés de Lagrange, qui affirme que tout entier positif peut être représenté comme une somme de quatre carrés, par exemple, . Gauss a démontré le cas triangulaire en 1796, en commémorant l'occasion en écrivant dans son journal la ligne . Dover reprint, 2000, ., et publié une preuve dans son livre . Pour cette raison, le résultat de Gauss est parfois connu comme le théorème Eureka.. Le théorème des nombres polygonaux a finalement été démontré par Cauchy en 1813Mém. Sc. Math. et Phys. de l’Institut de France, (I), 14, 1813-15, pp. 177-220 ; également dans Exercices de Math., Paris, 1, 1826, 265-296. Repris dans Œuvres de Cauchy, (2), VI, pp. 320-353. Journal des Mines, 38, 1815, p. 395. Rapport de Cauchy, Bull. Sc. par Soc. Philomatique de Paris, (3), 2, 1815, p. 196-7.. La démonstration de Nathanson. est fondée sur le lemme suivant de Cauchy :

Pour tous entiers naturels impairs  et  tels que  et , il existe des entiers positifs , , et  tels que  et .

Nombres nécessitant le maximum de termes dans leur décomposition

Décompositions en sommes de nombres triangulaires Les nombres nécessitant trois nombres triangulaires dans leur décomposition en somme de tels nombres sont Gauss a démontré que la condition nécessaire et suffisante est qu'au moins un exposant d'un facteur premier congru à 3 modulo 4 de ait un exposant impair dans la décomposition de ce dernier. Ils forment la .

Décompositions en sommes de carrés Les nombres ne pouvant pas s'écrire comme somme de moins de quatre carrés non nuls sont Gauss a démontré que ces nombres sont ceux de la forme avec entiers naturels. Ils forment la .

Décompositions en sommes de nombres pentagonaux On ne connaît que six entiers ne pouvant pas s'écrire comme somme de moins de cinq nombres pentagonaux, à savoir et

On conjecture qu'il n'y en a pas d'autres, voir la .

Décompositions en sommes de nombres hexagonaux Seuls nécessitent six termes pour être écrits comme somme de nombres hexagonaux. En fait, tout entier > 130 peut être exprimé comme somme d'au plus quatre nombres hexagonaux ; Adrien-Marie Legendre l'avait démontré en 1830 pour > 1791 (voir la ).

On conjecture que pour tout , il n'existe qu'un nombre fini de décompositions nécessitant termes.

Notes et références

Voir aussi Articles connexes Conjectures de Pollock Problème de Waring

Bibliographie

Catégorie:Théorie analytique des nombres Catégorie:Nombre figuré Nombres polygonaux de Fermat Catégorie:Pierre de Fermat