En géométrie, une inversion est une transformation qui inverse les distances par rapport à un point donné, appelé centre de l'inversion. Cela signifie en substance que l'image d'un point est d'autant plus éloignée du centre de l'inversion que le point d'origine en est proche. Selon une phrase célèbre, .
Le concept d'inversion peut être généralisé aux espaces de dimension supérieure.
Cette transformation envoie des cercles ou des lignes vers d'autres cercles ou lignes. Elle préserve les angles entre les courbes de croisement. De nombreux problèmes difficiles en géométrie voient leur résolution simplifiée lorsqu'une inversion est appliquée. L'inversion semble avoir été découverte par un certain nombre de personnes à la même époque, dont Steiner (1824), Quetelet (1825), Bellavitis (1836), Stubbs et Ingram (1842-3) et Kelvin (1845)Curves and Their Properties by Robert C. Yates, National Council of Teachers of Mathematics, Inc.,Washington, D.C., p. 127: "Geometrical inversion seems to be due to Jakob Steiner who indicated a knowledge of the subject in 1824. He was closely followed by Adolphe Quetelet (1825) who gave some examples. Apparently independently discovered by Giusto Bellavitis in 1836, by Stubbs and Ingram in 1842-3, and by Lord Kelvin in 1845.)".
Définition générale dans le cadre d’un espace affine euclidien
Soient un espace affine euclidien, un point de et un réel non nul.
Soit la sphère de centre et de rayon .
Inverse d'un point
Inverser un nombre en arithmétique signifie généralement prendre son inverse. Une idée étroitement liée en géométrie est celle de « l'inversion » d'un point. Dans le plan, linverse d'un point P par rapport à un cercle de référence (Ø) de centre O et de rayon r est un point P, situé sur le rayon O passant par P tel que
C'est ce qu'on appelle linversion par un cercle ou l'inversion par un plan. L'inversion prenant tout point P (différent de O) à son image P ramène également P à P, donc le résultat de l'application de la même inversion deux fois est la transformation d'identité sur tous les points du plan autres que O (involution) . Pour faire de l'inversion une involution il faut introduire un point à l'infini, un seul point placé sur toutes les droites, et prolonger l'inversion, par définition, pour intervertir le centre O et ce point à l'infini.
Il découle de la définition que l'inversion de tout point à l'intérieur du cercle de référence doit se trouver à l'extérieur de celui-ci, et vice versa, avec le centre et le point à l'infini changeant de position, tandis que tout point du cercle n'est pas affecté (est invariant par inversion). En résumé, plus un point est proche du centre, plus sa transformation est éloignée, et vice versa.
Construction au compas et à la règle
Point à l'extérieur du cercle
Pour construire l'inverse P d'un point P extérieur à un cercle Ø :
on dessine le segment de O (centre du cercle Ø) à P on note M le milieu de OP on trace le cercle c de centre M passant par P (le cercle bleu sur le schéma) Soient N et N les points d'intersection de Ø et c. on dessine le segment NN. P est l'intersection de OP et NN.
Point à l'intérieur du cercle
Pour construire l'inverse P d'un point P à l'intérieur d'un cercle Ø :
on trace le rayon r de O (centre du cercle Ø ) passant par P (c'est la ligne horizontale) on trace la droite s passant par P perpendiculaire à r (c'est la ligne verticale) Soit N un des points où Ø et s se coupent. on dessine le segment ON. on trace la ligne t passant par N perpendiculaire à ON. P est l'intersection du rayon r et de la droite t.
Construction de Dutta Il existe une construction du point inverse de A par rapport à un cercle P qui est indépendante du fait que A soit à l'intérieur ou à l'extérieur de PDutta, Surajit (2014) A simple property of isosceles triangles with applications, Forum Geometricorum 14: 237–240 .
On considère un cercle P de centre O et un point A qui peut être à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle P.
on prend le point d'intersection C du rayon OA avec le cercle P. on connecte le point C avec un point quelconque B sur le cercle P (différent de C) Soit h la réflexion du rayon BA sur la droite BC . Alors h coupe le rayon OC en un point A. A est le point inverse de A par rapport au cercle P.
Propriétés générales thumb|right|420px|Toute inversion est une involution. Une inversion de rapport non nul est bijective. Une inversion est une involution : elle est sa propre bijection réciproque. L'inversion par rapport à une sphère laisse les points de la sphère fixes, et les points intérieurs et extérieurs sont échangés. L'inversion est la version « sphérique » de la réflexion. On appelle sphère d’inversion (ou cercle d’inversion dans le plan) la sphère de centre et de rayon . Elle est toujours globalement invariante, et elle est fixe (invariante point par point) lorsque le rapport est positif. Toute inversion de rapport positif est l'inversion par rapport à sa sphère d’inversion. Les hyperplans passant par sont aussi des invariants globaux.
Le principal intérêt des inversions est la transformation d'hyperplans (droites) en hypersphères (cercles) et réciproquement, tout en préservant les angles :
Ainsi si dans le plan , et sont les images respectives de , et par une inversion de centre de rapport non nul, alors , et sont alignés si et seulement si , , et sont cocycliques, ce qui est la raison profonde de l'égalité et de l'inégalité de Ptolémée.
Ainsi par exemple deux droites ne passant pas par sont perpendiculaires si et seulement si leurs cercles images le sont (deux cercles étant dits perpendiculaires si leurs tangentes aux points d'intersection le sont).
Propriétés géométriques
L'inversion d'un ensemble de points du plan par rapport à un cercle est l'ensemble des inverses de ces points. Les propriétés suivantes rendent l'inversion de cercle utile.
un cercle qui passe par le centre O du cercle de référence s'inverse en une droite ne passant pas par O, mais parallèle à la tangente au cercle d'origine en O, et vice versa ; alors qu'une droite passant par O est inversée sur elle-même (mais pas invariante ponctuellement). Un cercle ne passant pas par O s'inverse en un cercle ne passant pas par O . Si le cercle rencontre le cercle de référence, ces points d'intersection invariants sont également sur le cercle inverse. Un cercle (ou une droite) est invariant par inversion si et seulement s'il est orthogonal au cercle de référence aux points d'intersection.
Les propriétés supplémentaires incluent : Si un cercle q passe par deux points distincts A et A' inverses par rapport à un cercle k, alors les cercles k et q sont orthogonaux. Si les cercles k et q sont orthogonaux, alors une droite passant par le centre O de k et coupant q, le fait en des points inverses par rapport à k. Étant donné un triangle OAB dans lequel O est le centre d'un cercle k, et les points A' et B' inverses de A et B par rapport à k, alors
Les points d'intersection de deux cercles p et q orthogonaux à un cercle k, sont inverses par rapport à k. Si M et M' sont des points inverses par rapport à un cercle k sur deux courbes m et m', également inverses par rapport à k, alors les tangentes à m et m' aux points M et M' sont soit perpendiculaires à la droite droite MM', soit forment avec cette droite un triangle isocèle de base MM'. L'inversion laisse la mesure des angles inchangée, mais inverse l'orientation des angles orientés.
Exemples en deux dimensions vignette| Exemples d'inversion des cercles A à J par rapport au cercle rouge en O. Les cercles A à F, qui passent par O, correspondent à des droites. Cercles G à J, qui ne correspondent pas à d'autres cercles. Le cercle de référence et la ligne L correspondent à eux-mêmes. Les cercles coupent leurs inverses, le cas échéant, sur le cercle de référence.
L'inversion d'une droite est un cercle contenant le centre d'inversion ; ou c'est la ligne elle-même si elle contient le centre L'inversion d'un cercle est un autre cercle ; ou c'est une ligne si le cercle d'origine contient le centre L'inversion d'une parabole est une cardioïde L'inversion de l'hyperbole est une lemniscate de Bernoulli
Application Pour un cercle ne passant pas par le centre d'inversion, le centre du cercle en cours d'inversion et le centre de son image en inversion sont colinéaires au centre du cercle de référence. Ce fait peut être utilisé pour prouver que la droite d'Euler du triangle de contact d'un triangle coïncide avec sa ligne OI. La preuve va à peu près comme suit :
On inverse par rapport au cercle inscrit du triangle ABC. Le triangle médian du triangle de contact est inversé en triangle ABC, c'est-à-dire que le centre circonscrit du triangle médial, c'est-à-dire que le centre du cercle d'Euler du triangle de contact, le centre et le centre circonscrit du triangle ABC sont colinéaires.
Deux cercles non sécants peuvent être inversés en cercles concentriques. Ensuite, la distance d'inversion (généralement notée δ) est définie comme le logarithme népérien du rapport des rayons des deux cercles concentriques.
De plus, deux cercles non sécants peuvent être inversés en cercles congruents, en utilisant un cercle d'inversion centré en un point sur le cercle d'antisimilitude.
Le dispositif de Peaucellier-Lipkin est une implémentation mécanique de l'inversion dans un cercle. Il fournit une solution exacte au problème important de la conversion entre le mouvement linéaire et le mouvement circulaire.
Pôle et polaire droite|vignette|La polaire q en un point Q par rapport à un cercle de rayon r centré sur le point O. Le point P est le point d'inversion de Q ; la polaire est la droite passant par P perpendiculaire à la droite contenant O, P et Q . Si le point R est l'inverse du point P alors les droites perpendiculaires à la droite PR passant par l'un des points est la polaire de l'autre point (le pôle).
Les pôles et les polaires ont plusieurs propriétés utiles : Si un point P se trouve sur une droite l, alors le pôle L de la droite l se trouve sur la polaire p du point P. Si un point P se déplace le long d'une droite l, sa polaire p tourne autour du pôle L de la droite l. Si deux lignes tangentes peuvent être tracées d'un pôle au cercle, alors sa polaire passe par les deux points tangents. Si un point se trouve sur le cercle, sa polaire est la tangente passant par ce point. Si un point P est sur sa propre ligne polaire, alors P est sur le cercle. Chaque ligne a exactement un pôle.
Dans le plan Dans le plan affine euclidien vignette|upright=1.5|Inverseur de Peaucellier.
Dans le plan affine euclidien, l’inverse d’un point est constructible au compas lorsqu’on connait le cercle d'inversion, ce qui permet de démontrer le :
Signalons aussi l’existence de « machines à inversion », l’inverseur de Peaucellier, utilisé pour transformer un mouvement rectiligne en mouvement circulaire :
L'inverseur est un objet mécanique avec deux barres OP et OQ de longueur fixe et 4 autres barres MP, MQ, M'P, M'Q de longueurs fixes avec les points de pivots aux sommets du losange OMPQM'.
Pour un point du plan affine euclidien et un rapport , avec , on peut construire l’inverse géométrique, pour l’inversion de centre et de rapport , de tout point dans la couronne centrée en , de rayon intérieur , et de rayon extérieur de la façon suivante : Un point dans la couronne étant donné, il existe deux points d’intersection et du cercle de centre et de rayon , et du cercle de centre et de rayon Puis on construit l’unique point tel que soit un losange. L’application qui à fait correspondre est bien l’inversion cherchée.
Dans le plan complexe Dans le plan complexe, une inversion particulière est celle par rapport au cercle unité ; en termes d’affixe complexe, elle est codée par l'application
On voit ainsi que cette inversion est composée de la conjugaison complexe et d’une homographie.