En arithmétique géométrique, un nombre polyédrique est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un polyèdre.

vignette|Exemple de réalisation d'un nombre 3-pyramidal, ou nombre tétraédrique.

Cas des pyramides

Le n-ième nombre k-pyramidal est la somme des nombres k-gonaux d'indices 1 à :

Cas des polyèdres réguliers

Formules Si l'on note le nombre de points à l'étape où il y a points dans chaque arête extérieure du polyèdre, on a les formules : Nombre polyédrique Les dix premiers nombres Rang OEIS Nombre tétraédrique 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220 Nombre cubique 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 Nombre octaédrique 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670 Nombre dodécaédrique 1, 20, 84, 220, 455, 816, 1330, 2024, 2925, 4060 Nombre icosaédrique 1, 12, 48, 124, 255, 456, 742, 1128, 1629, 2260

Principe d'obtention de ces formules On considère un polyèdre régulier à S sommets, A arêtes, et F faces k-gonales et dont les sommets sont de degré d ({k,d} est le symbole de Schläfli) : Supposons que la figure de l'étape soit construite ; on obtient la figure de l'étape en ajoutant :

nouveaux points situés aux nouveaux sommets,

nouveaux points situés à l'intérieur des nouvelles arêtes, nouveaux points situés à l'intérieur des nouvelles faces, étant le nombre le nombre k-gonal d'ordre .

Si l'on note le nombre de points à l'étape , on a donc .

Partant de , on obtient donc en écrivant .

Avec les formules valables pour les 5 polyèdres réguliers, , où , on obtient .

Cas des polyèdres réguliers tronqués Si à chacun des S sommets de la construction précédente à l'étape on ôte une pyramide à base d'ordre d à l'étape , on obtient les nombres polyédriques réguliers tronqués : où est le nombre pyramidal d-gonal d'ordre . Nombre polyédrique tronqué Les 5 premiers nombres Rang OEIS Nombre tétraédrique tronqué 1, 16, 68, 180, 375 Nombre cubique tronqué 1, 56, 311, 920, 2037 Nombre octaédrique tronqué 1, 38, 201, 586, 1289 Nombre dodécaédrique tronqué 1, 200, 1250, 3860, 8739 Nombre icosaédrique tronqué 1, 112, 670, 2044, 4603

Cas des polyèdres réguliers augmentés Si à chacune des F faces de la construction des nombres polyédriques réguliers à l'étape on ajoute une pyramide à base d'ordre k à l'étape , on obtient les nombres polyédriques réguliers augmentés: .

Par exemple, dans le cas de l'octaèdre, on obtient les nombres "stella octangula" :, .

Dans le cas du cube on obtient les nombres , égaux aux nombres prismatiques hexagonaux centrés, .

Références

Voir aussi

Nombre polyédrique centré Nombre 4-polytopique

Polyédrique Catégorie:Polyèdre