En mathématiques, un nombre polyédrique centré est un nombre figuré comptant comptant des points disposés dans un polyèdre par couches successives autour d'une droite centrale ou d'un centre.
Cas d'une pyramide : nombres pyramidaux centrés
Autour de l'axe de la pyramide vignette|Nombre pyramidal hexagonal centré On dispose dans une pyramide à base -gonale une première couche de points k-gonale centrée d'ordre dans la base puis une couche d'ordre , etc. jusqu'au sommet de la pyramide.
Le -ième nombre -pyramidal centré est donc la somme des nombres -gonaux centrés pour allant de 1 à (en commençant par la pointe de la pyramide) : .
Exemples Nombres pyramidaux triangulaires centrés : , : 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505,...
Nombres pyramidaux carrés centrés : , : 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670,..., égaux aux nombres octaédriques. Nombres pyramidaux pentagonaux centrés : , :1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609,...
Nombres pyramidaux hexagonaux centrés : , égaux aux nombres cubiques. Nombres pyramidaux heptagonaux centrés : , :1, 9, 31, 74, 145, 251, 399, 596,... Nombres pyramidaux octogonaux centrés : , : 1, 10, 35, 84, 165, 286, 455,...
Autour du centre de la pyramide La pyramide ayant faces triangulaires,1 face -gonale, sommets et arêtes, la couche pyramidale ajoutée à l'étape possède points correspondants aux intérieurs des faces, plus points situés à l'intérieur des arêtes, plus points situés aux sommets ; est le nombre -gonal d'ordre .
On obtient , d'où .
Exemples
: on obtient les nombres tétraédriques centrés : . : , : 1, 6, 20, 49, 99, 176, 286, 435, 629, 874,... : on obtient les nombres octaédriques centrés : . : , : 1, 8, 30, 77, 159, 286, 468, 715, 1037, 1444,... : on obtient les nombres cubiques centrés : . : : : 1, 10, 40, 105, 219, 396, 650, 995, 1445, 2014,...
Cas d'un prisme : nombres prismatiques centrés On dispose dans un prisme à base -gonale couches successives de points k-gonales centrées d'ordre .
Le -ième nombre -prismatique centré est donc le nombre -gonal centré multiplié par : .
Exemples
Nombres prismatiques triangulaires centrés : , : 1, 8, 30, 76, 155,...
Nombres prismatiques carrés centrés : , : 1, 10, 39, 100, 205, .... Nombres prismatiques pentagonaux centrés : , égaux aux nombres icosaédriques, :1, 12, 48, 124, 255 ,...
Nombres prismatiques hexagonaux centrés : , égaux aux nombres cubiques augmentés, : 1, 14, 57, 148, 305, .... Nombres prismatiques heptagonaux centrés : , :1, 16, 66, 172, 355, ... Nombres prismatiques octogonaux centrés : , : 1, 18, 75, 196, 405, ...
Cas d'un polyèdre régulier ou semi-régulier
Première méthode Nous suivons ici la référence qui prend la convention de prendre pour l'étape de départ (il y a donc points dans chaque arête à l'étape ) ; dans cette référence, chaque face du polyèdre étant décomposée en triangles, on décompose le polyèdre en tétraèdres joignant un point central à ces triangles. Chaque tétraèdre est rempli de points à la façon des nombres tétraédriques, les points situés dans deux faces triangulaires contigües devant coïncider.
Si est le nombre de points dans la couche numérotée , , le nombre polyédrique centré d'ordre est pour , avec .
On a où , étant le nombre de faces k-gonales du polyèdre, d'où .
Exemples Nombre polyédrique centré Nombre de faces Rang OEIS Nombre tétraédrique centré 1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589 Nombre cubique centré 1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729 Nombre octaédrique centré 1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159 Nombre dodécaédrique centré Nombre octaédrique tronqué centré 1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569 Nombre icosaédrique centré Nombre cuboctaédrique centré 1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869 Nombre dodécaédrique rhombique centré1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439, 4641Nombre dodécaédrique rhombique de l'Abbé Haüyconstruction exotique1, 33, 185, 553, 1233, 2321, 3913, 6105Nombre tétraédrique tronqué centré1, 17, 75, 203, 429, 781, 1287, 1975Nombre cubique tronqué centré1, 49, 235, 651, 1389, 2541, 4199, 6455, 9401
Deuxième méthode
Cas du nombre polyédrique centré à faces non centrées Nous suivons ici la référence, où le nombre de points par arête est égal à .
Le polyèdre possède faces de degré , S sommets et A arêtes, la couche polyédrique ajoutée à l'étape possède points correspondants aux intérieurs des faces ( est le nombre k-gonal avec points sur chaque côté), plus points situés à l'intérieur des arêtes, plus S points situés aux sommets. On a donc , soit .
Partant de , on obtient .
Par exemple, (un point à chaque sommet et un point au centre).
Pour un polyèdre régulier à S sommets (vérifiant ), on obtient : .
Exemples Nombre polyédrique centré faces, arêtes, sommets, degré d Rang OEIS Nombre tétraédrique centré 1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589 Nombre cubique centré 1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729 Nombre octaédrique centré 1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159 Nombre dodécaédrique centré 1, 21, 95, 259, 549, 1001, 1651, 2535, 3689, 5149 ... Nombre icosaédrique centré 1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869 Nombre tétraédrique tronqué centré1, 17, 75, 203, 429, 781, 1287, 1975Nombre cubique tronqué centré1, 49, 235, 651, 1389, 2541, 4199, 6455, 9401Nombre octaédrique tronqué centré1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569
Cas du nombre polyédrique centré à faces centrées On remplace le nombre polygonal non centré par le nombre polygonal centré dans la formule ci-dessus.
Pour un polyèdre régulier ayant A arêtes, on obtient : .
Par exemple, (un point à chaque sommet, un point au centre de chaque face et un point au centre).
Exemples Nombre polyédrique centré à faces centrées Nombre d'arêtes Rang OEIS Nombre tétraédrique centré à faces centrées 1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729 Nombre cubique centré à faces centrées Nombre octaédrique centré à faces centrées 1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439 Nombre dodécaédrique centré à faces centrées Nombre icosaédrique centré à faces centrées 1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569
Références
Polyédrique centré Catégorie:Polyèdre