vignette|portrait de François Viète. Un polynôme de degré sur un corps s'écrit sous sa forme la plus générale :
où est appelé coefficient de .
Si est scindé, on peut aussi le définir grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de qui annulent Si n'est pas scindé, il suffit de se placer sur la clôture algébrique de pour qu'il le devienne.. Ainsi, le théorème de d'Alembert-Gauss garantit que tout polynôme de degré à coefficients complexes admet exactement racines sur , éventuellement multiples (sur en revanche, ce n'est pas toujours vrai). Il en résulte qu'un polynôme à coefficients complexes peut se réécrire :
, avec les racines de , éventuellement multiples. Les relations entre les coefficients et les racines portent le nom de François Viète, le premier à les avoir énoncées dans le cas de racines positives.
Relations de Viète
Polynômes symétriques
On définit le -ième polynôme symétrique à indéterminées, noté , comme la somme de tous les produits à facteurs de ses indéterminées. (Il y a tels produits possibles.) Par exemple, les polynômes symétriques associés aux indéterminées , , et sont : , , , , .
Plus généralement, en considérant les polynômes symétriques à indéterminées, , , ,
,
.
Théorème
Soient un polynôme scindé de degré et ses racines (les racines multiples étant comptées plusieurs fois). Alors pour tout ,
ce qui peut encore s'écrire
Ces relations se prouvent en développant le produit , et en identifiant les coefficients du développement (qui s'expriment à partir des polynômes symétriques des racines) avec les coefficients de .
Exemples Cas . Soient et ses racines. Alors, , . Cas . Soient et ses racines. Alors, , , .
Sommes de Newton
Exemple introductif On se donne le polynôme avec , , ses racines. On veut déterminer la somme . Pour cela, on dispose de l'identité suivante : , si bien que, d'après les relations de Viète : .
Théorème
Les sommes de Newton sont une généralisation de ce principe. On pose , où les sont les racines de (en particulier, ). La méthode présentée dans l'exemple se généralise, mais les calculs deviennent compliqués. On peut par contre démontrer directement. que, pour : , , ,
.
Continuité des racines En raison de leur expression polynomiale, les coefficients d'un polynôme à coefficients complexes sont des fonctions continues de ses racines. La réciproque est vraie mais plus délicate à prouver. Considérons l'application définie par :
où les sont les polynômes symétriques élémentaires définis à partir de . donne la liste des coefficients du polynôme unitaire (hormis le coefficient dominant égal à 1). D'après le théorème de d'Alembert, cette application est surjective. est continue puisque les coefficients du polynôme sont des fonctions continues des racines. La factorisation canonique de conduit à introduire la relation d'équivalence suivante sur l'ensemble de départ de :
où est le groupe symétrique sur l'ensemble des indices. Notons l'ensemble quotient. Munissons cet ensemble de la topologie quotient. se factorise sous la forme , où est la projection canonique de sur , et l'application de dans qui, à une classe d'équivalence représentée par associe la suite des polynômes symétriques élémentaires correspondants. On peut alors montrer que est un homéomorphisme entre l'ensemble des racines du polynôme à permutation près et l'ensemble des coefficients du polynôme..
Notes et références
Articles connexes Discriminant Polynôme Racine d'un polynôme Saut de Viète
Catégorie:Équation polynomiale Catégorie:Formule ou théorème de François Viète