En mathématiques, un maximum régularisé () d'une famille indicée de nombres est une approximation lisse de la fonction maximum , par une famille paramétrée de fonctions telle que la fonction est régulière pour toute valeur réelle de , et tend vers la fonction maximum pour ou . Le concept de minimum régularisé peut être défini de façon similaire. Dans plusieurs cas, une même famille peut servir à approcher les deux fonctions, le maximum pour des valeurs positives très grandes, le minimum vers l'infini négatif :

Le terme peut être utilisé pour toute fonction régularisante se comportant de façon similaire à la fonction maximum, sans être paramétrée.

Exemples Approximations dérivables de la valeur absolue En utilisant la définition suivante du maximum de deux nombres :

on peut définir une fonction maximum régularisé en remplaçant le terme en valeur absolue par une fonction lisse équivalente, comme ou , où désigne la fonction d'erreur. Softmax

Pour de grandes valeurs du paramètre , la fonction définie ci-après, parfois appelée « -softmax », est une approximation lisse et différentiable de la fonction maximum. Pour des valeurs négatives du paramètre grandes en valeur absolue, elle approche le minimum. La fonction -softmax est définie par :

a les propriétés suivantes :

renvoie la moyenne arithmétique

Le gradient de est lié à la fonction softmax et vaut

Normes de Hölder

Une forme de maximum régularisé peut être basée sur une moyenne généralisée. Par exemple, pour des valeurs positives, on peut utiliser une moyenne d'ordre , soit

LogSumExp

Un autre maximum régularisé est connu sous le nom « LogSumExp »:

La fonction peut être normalisée si les sont tous positifs, menant à une fonction définie sur vers :

Le terme est un coefficient de correction pour prendre en compte que , assurant ainsi qu'on ait bien si tous les sont nuls.

La fonction LogSumExp peut être paramétrée pour éviter les artefacts de lissage. On appelle cette forme « -quasimax », définie par:

Utilisation dans des méthodes numériques

Les maximums lisses ont un intérêt dans les recherches d'extrema sur des ensembles de données discrètes ou des algorithmes d'optimisation par descente du gradient.

Voir aussi LogSumExp Fonction softmax Moyenne généralisée

Références

Catégorie:Théorie des ensembles