En mathématiques, une suite de polynômes possède une représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme :
où la fonction génératrice est composée des séries :
avec ; avec tous les ; avec .
Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que est polynôme de degré .
Cas particuliers
Le choix de donne la classe des polynômes de Brenke. Le choix de donne la suite des polynômes de Sheffer. Le choix simultané de et de donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict.
Représentation explicite Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite
.
Le coefficient est
où la somme s'étend à toutes les « partitions au sens large » de n en k + 1 parties, c'est-à-dire à tous les (k + 1) uplets j d'entiers positifs ou nuls de somme n.
Pour les polynômes d'Appell, cette formule devient : .
Relations de récurrence
De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau puisse être écrit comme avec est que
où et ont un développement en série
et
.
En faisant la substitution
,
il vient immédiatement la relation de récurrence :
.
Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a et donc tous les sont nuls, ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.
Crédit d'auteurs
Bibliographie
Appell