Dans la théorie des ensembles, l'union ou réunionDans ce contexte, ces deux mots sont synonymes ( entrées union et réunion sur le portail lexical du CNRTL). Ils sont utilisés indifféremment, parfois dans un même ouvrage, comme . est une opération ensembliste de base. En algèbre booléenne, l'union est associée à l'opérateur logique « ou inclusif » et est notée ∪.
Union de deux ensembles L'union de deux ensembles A et B est l'ensemble qui contient tous les éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B. On la note A ∪ B et on la dit « A union B »
Formellement : .
Par exemple l'union des ensembles A = {1, 2, 3} et B = {2, 3, 4} est l'ensemble {1, 2, 3, 4}.
Propriétés algébriques L'union est associative, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). L'union est commutative, c'est-à-dire que, pour des ensembles A et B quelconques, on a :A ∪ B = B ∪ A. L'intersection est distributive sur l'union, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). L'union est distributive sur l'intersection, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩(A ∪ C).
Union d'une famille d'ensembles On généralise ce concept à un ensemble quelconque d'ensembles (non nécessairement réduit à une paire, ni même fini) : sa réunion, notée , a pour éléments tous les pour lesquels il existe un tel que (si X est l'ensemble vide, cette réunion est donc vide.). L'axiome de la réunion est l'affirmation que est un ensemble, de l'édition de 1993..
On peut alors définir la réunion d'une famille quelconque d'ensembles : c'est la réunion de l'ensemble . Cette réunion notée est donc l'ensemble des éléments pour lesquels il existe un tel que . Formellement : .
La distributivité de l'intersection ci-dessus s'étend aux familles : .
Notes et références
Articles connexes Union disjointe Algèbre des parties d'un ensemble Diagramme de Venn L'axiome de la réunion en théorie des ensembles
Catégorie:Théorie des ensembles Catégorie:Opération