Dans un espace vectoriel de , un pseudo-vecteur est un objet mathématique qui peut être représenté par une forme bilinéaire alternée ou par un tenseur antisymétrique d' ou, dans une base donnée, par une matrice antisymétrique. Il porte aussi le nom de bivecteur car il peut s'écrire comme le produit extérieur de deux formes linéaires. Si l'espace est euclidien et orienté, on lui fait correspondre un vecteur de l'espace appelé vecteur dual. On peut généraliser cela à toute dimension supérieure à 3.

Par exemple, la vitesse d'un point quelconque d'un solide en rotation dans l'espace est déterminée à l'aide d'un tenseur antisymétrique c'est-à-dire un pseudo-vecteur. Cependant, il est plus pratique d'utiliser son vecteur dual car celui-ci indique (entre autres) la direction de l'axe de rotation.

Notations Les notions évoquées ci-dessus (et détaillées ci-dessous) s'organisent suivant le schéma suivant :

On désigne par un espace vectoriel de dimension . Afin de distinguer le produit extérieur et le produit vectoriel, on utilisera de façon exclusive la notation pour le produit extérieur (notation universelle donc incontournable) et la notation pour le produit vectoriel (notation extrêmement répandue, même si elle n'est pas encore utilisée partout et en particulier en France).

Espace dual

On note l'espace dual de c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur ; ses éléments sont appelés des covecteurs. Cet espace vectoriel est aussi de

Base duale On note la forme linéaire définie par si et si c'est-à-dire où est le tenseur de Kronecker. La base de l'espace dual est appelée base duale de . Tout changement de base dans induit automatiquement le changement de sa base duale.

La position des indices dans la base n'est qu'une convention d'écriture parmi d'autres pour distinguer les vecteurs des deux bases. On aurait pu écrire ou par exemple. La convention choisie est celle qui est adaptée à l'écriture tensorielle et à la convention de sommation d'Einstein que l'on utilisera systématiquement.

Covariance et contravariance En cohérence avec la dénomination tensorielle, un vecteur est un tenseur de type (1,0) et est dit contravariant ; de même un covecteur est un tenseur de type (0,1) et est dit covariant. C'est une définition intrinsèque (qui ne fait pas appel aux bases) et, comme toute définition, elle ne nécessite aucune justification.

La base , constituée de vecteurs contravariants, est dite contravariante. Soit un vecteur ; ses coordonnées dans la base contravariante sont définies par et sont appelées les coordonnées contravariantes de . Dans , l'indice est dite en position contravariante (position haute) car il se réfère à des coordonnées contravariantes. On vérifie que .

La base , constituée de vecteurs covariants, est dite covariante. Soit un covecteur ; ses coordonnées dans la base covariante sont définies par et sont appelées les coordonnées covariantes de . Dans , l'indice est dite en position covariante (position basse) car il se réfère à des coordonnées covariantes. On vérifie que .

Remarque : La position covariante ou contravariante d'un indice ne concerne que les coordonnées. En effet le vecteur est contravariant bien que l'indice soit en position basse. De même le covecteur est covariant bien que l'indice soit en position haute. Cela est simplement dû à la position des indices dans la convention d'Einstein.

Cas euclidien Isomorphismes musicaux Dans le cas où est un espace vectoriel euclidien, à tout vecteur on fait correspondre la forme linéaire définie par (où est le produit scalaire). L'application linéaire est un isomorphisme de sur . On note son isomorphisme réciproque et on définit sur un produit scalaire (que l'on note encore « »), appelé produit scalaire dual, par . Muni de ce produit scalaire, est un espace vectoriel euclidien et ces isomorphismes sont des isométries qui permettent d'identifier les espaces euclidiens et . Dans ce cas, quand on parle d'un vecteur (sans préciser davantage) on parle indifféremment d'un élément de ou d'un élément de ; on ne fait donc plus la distinction entre vecteurs et covecteurs.

Comme les formes linéaires sont identifiées à des vecteurs de , on a . Par exemple en on a et . Par conséquent où est le projeté orthogonal de sur la droite orthogonale au plan engendré par les vecteurs et .

On ne fait plus la distinction entre vecteur et covecteur c'est-à-dire que l'on ne fait plus la distinction entre vecteur contravariant et vecteur covariant. Par contre, comme la base est aussi une base de , les coordonnées d'un vecteur peuvent être calculées aussi bien dans la base que dans la base . Il faut donc toujours faire la distinction entre coordonnées covariantes et coordonnées contravariantes. Dans la base on a et ses coordonnées contravariantes vérifient . Dans la base on a et ses coordonnées covariantes vérifient .

Tenseur métrique Le produit scalaire défini sur est un cas particulier de métrique. Son tenseur associé est un tenseur covariant appelé tenseur métrique. De même le produit scalaire dual, définit sur , est la métrique duale. Son tenseur associé est un tenseur contravariant appelé tenseur métrique dual.

On note les coordonnées dans la base du tenseur métrique et les coordonnées dans la base du tenseur métrique dual. Par définition des produits scalaires, on a les relations et . Ces tenseurs sont symétriques et on vérifie que , et . De plus, pour tout vecteur on a et . Ces formules montrent que la matrice est la matrice de changement de base de vers et que sa matrice inverse est .

Si et alors . Il est très inhabituel d'utiliser de cette manière les coordonnées issues de deux bases différentes, mais et ne sont pas indépendantes.

Par la suite il n'y a pas d'inconvénient à supposer que l'espace vectoriel est euclidien, le contexte permettant de savoir si la notion est utile ou non.

Algèbre extérieure

Formes extérieures Soit un espace vectoriel. Pour on note l'espace vectoriel des p-formes alternées définies sur . On complète ces notations en posant , et pour . La dimension de l'espace vectoriel est avec la convention si . Les espaces vectoriels et ont donc la même dimension.

On note la somme directe de ces espaces vectoriels, c'est-à-dire

Les éléments de sont appelés des formes extérieures et ceux de des p-formes extérieures ou des p-vecteurs.

Produit extérieur Le produit extérieur des covecteurs et est noté et est défini pour tout et tout par

C'est une forme bilinéaire car elle est linéaire en et linéaire en . Elle est de plus alternée car pour tout et donc antisymétrique, c'est-à-dire que

On peut définir le produit extérieur sur . Comme la définition formelle du produit extérieur est assez complexe, on se contentera d'en donner ses principales propriétés. le produit extérieur est une application bilinéaire de dans si et alors si et alors le produit extérieur est associatif c'est-à-dire que que l'on note alors plus simplement

Muni de cette loi, est une algèbre extérieure.

Pseudo-vecteur Les éléments de sont appelés des bivecteurs. D'autre part est, tout comme , de . Les éléments de sont pour cela appelés des pseudo-vecteurs. Le préfixe pseudo signale seulement que ces vecteurs, bien qu'appartenant à un espace vectoriel de même dimension que , ne sont pas des éléments de . Dans le cas , les pseudo-vecteurs sont donc des bivecteurs ; cette coïncidence n'a lieu que pour .

Soit et deux covecteurs. Comme et alors . Avec le vocabulaire ci-dessus, est donc un bivecteur. Dans le cas c'est aussi un pseudo-vecteur et tout pseudo-vecteur peut s'écrire comme le produit extérieur de deux covecteurs.

Bases des p-vecteurs Étant donnée une base de , on a défini la base duale qui est donc la base canonique de associée à . Pour , on peut aussi définir une base de de façon naturelle (canonique) ; cependant, on ne peut définir aucun ordre naturel sur cette base.

Soit . Pour tout p-uplet ordonné vérifiant on pose . Puisque alors . Par exemple, et . L'ensemble des p-vecteurs où est un p-uplet ordonné est une base de notée . C'est la base covariante associée à la base et tout changement de base dans induit automatiquement un changement de base dans . Par abus de langage, les coordonnées d'un p-vecteur dans cette base sont appelées les coordonnées covariantes de dans (il est clair que c'est un abus de langage car ).

Pour , la base covariante de est . Tout bivecteur peut s'écrire (de manière unique) sous la forme ce qui donne

car on doit sommer sur l'ensemble des couples possibles vérifiant (convention d'Einstein généralisée).

Dans le cas où est un espace euclidien, les vecteurs sont identifiés à des covecteurs. De la même manière, on peut alors poser . La base constituée de ces p-vecteurs, notée , est la base contravariante associée à . Par abus de langage, les coordonnées d'un p-vecteur dans cette base sont appelées les coordonnées contravariantes de dans .

Pour , la base contravariante de est . Tout bivecteur peut s'écrire (de manière unique) sous la forme ce qui donne

Remarque : Il existe un isomorphisme canonique (c'est-à-dire indépendant des bases) entre les bivecteurs et les tenseurs antisymétrique d'. En général on distingue ces tenseurs suivant qu'ils sont covariants, contravariants ou mixtes. Dans le cas d'un espace euclidien, ces distinctions sont sans objet car on identifie et . Cependant, même dans ce cas, il faut toujours faire la distinction entre les coordonnées contravariantes et covariantes car cela revient à indiquer dans quelle base ( ou ) les coordonnées sont calculées.

Espace orienté

Définition L'espace vectoriel est, tout comme , de . Ses éléments sont pour cela appelés des pseudo-scalaires. Là encore, le préfixe pseudo signale simplement que les éléments de ne sont pas des éléments de .

Une forme volume sur est un élément non nul de . Comme cet espace est de , la relation d’équivalence définie sur par

permet de définir deux classes d’équivalence appelées orientations de . L'espace vectoriel muni de l'orientation est noté et appelé espace vectoriel orienté. Même si le plus souvent, en l'absence d'ambiguïté, on note encore l'espace vectoriel orienté, il est mathématiquement important de distinguer l'espace vectoriel de l'espace vectoriel orienté .

Bases directes Soit une base de et une forme volume. On dit que est directe (ou orientée positivement) si et indirecte (ou rétrograde ou orientée négativement) si . Cela est indépendant de .

On peut remarquer que la définition mathématique ci-dessus de l'orientation est intrinsèque. Elle ne fait pas intervenir les bases qui, de ce point de vue, sont des éléments étrangers à la notion. Il existe cependant une propriété concernant les bases qui sert parfois de définition alternative. Soit une base de (espace non orienté). L'ensemble des formes volumes telles que est une orientation. Cette orientation est appelée « orientation définie par ». Si on la note alors (par définition) est une base directe de l'espace orienté .

En physique, on peut ainsi définir une orientation telle que les bases directes soient des bases orientées à droite. Pour cela on choisit une base orientée à droite (par la règle de la main droite, par exemple). D'après ce qui précède, cela détermine une orientation pour laquelle la base est directe. Cette orientation est identique à celle déterminée par le tire-bouchon de Maxwell.

Tenseur de Levi-Civita