En mathématiques, et plus précisément en géométrie, un théorème isopérimétrique est une généralisation des résultats plus élémentaires d'isopérimétrie montrant par exemple que le disque est, à périmètre donné, la figure ayant la plus grande aire. Les questions traitées par cette généralisation concernent les compacts d'un espace métrique muni d'une mesure. Un exemple simple est donné par les compacts d'un plan euclidien. Les compacts concernés sont ceux de mesures finies ayant une frontière aussi de mesure finie. Dans l'exemple choisi, les compacts concernés sont ceux dont la frontière est une courbe rectifiable, c'est-à-dire essentiellement non fractale. Les mesures du compact et de sa frontière sont naturellement différentes : dans l'exemple, la mesure du compact est une aire, tandis que celle de sa courbe frontière est une longueur.
Un théorème isopérimétrique caractérise les compacts ayant la mesure la plus grande possible pour une mesure de leur frontière fixée. Dans le plan euclidien en utilisant la mesure de Lebesgue, un théorème isopérimétrique indique qu'un tel compact est un disque. En dimension 3, toujours avec une géométrie euclidienne, une autre version du théorème indique que c'est une boule. D'une manière plus générale, dans un espace euclidien de dimension n, muni de la mesure de Lebesgue, l'optimum est obtenu par une boule, ce qui donne l'inégalité isopérimétrique suivante, si K est un compact et B la boule unité :
Les théorèmes isopérimétriques sont souvent difficiles à établir. Même un cas simple, comme celui du plan euclidien muni de la mesure de Lebesgue, est relativement technique à démontrer. Une des méthodes de preuve, connue depuis la démonstration de Hurwitz en 1901, est d'utiliser un résultat d'analyse issu de la théorie des séries de Fourier : l'inégalité de Wirtinger. Le résultat reste partiel car il ne traite que des surfaces dont la frontière est une courbe de classe C.
Fragments d'histoire Prémices La connaissance de théorèmes isopérimétriques est ancienne, près de .. Le résultat essentiel de l'époque est l'œuvre de Zénodore , qui démontre un résultat que l'on exprimerait maintenant de la manière suivante : s'il existe un polygone à n côtés de surface maximale à périmètre donné, alors il est régulier.. Cette partie de l'histoire est traitée dans l'article « Isopérimétrie ». Les études des théorèmes isopérimétriques datant de l'Antiquité se fondent exclusivement sur la géométrie du triangle. Ces méthodes, assez élémentaires, ne permettent pas d'aller beaucoup plus loin. Par exemple, démontrer l'existence d'une solution est hors de portée. Il faut attendre près de pour que l'étude de cette question soit enrichie à l'aide d'apports théoriques de nature différente.
Jacques Bernoulli (1654-1705) étudie la question pour répondre à des questions de mécanique statique et plus précisément s'intéresse à la forme que doit posséder une poutre pour offrir le maximum de résistance possible. La résolution d'une telle question débouche sur un théorème isopérimétrique, le demi-cercle est parfois la forme offrant la meilleure résistance. Si Bernoulli ne parvient pas à un résultat définitif, il utilise de nouveaux outils issus du calcul différentiel. Le mariage de la géométrie et de l'analyse est promis à un grand avenir, même si un théorème isopérimétrique n'est pas encore accessible.
Le est celui des progrès majeurs. La première avancée est le fruit du travail de Jakob Steiner (1796-1863). Il montre que si une solution existe, elle est nécessairement unique et c'est le disque. Pour cela, il développe un outil, maintenant appelé symétrisation de Steiner. et encore utilisé pour établir des théorèmes d'isopérimétrie. Son idée majeure consiste à remarquer que, si l'on coupe une solution à l'aide d'une droite en deux parties d'aires égales, il est possible de construire une nouvelle surface optimale à l'aide de la duplication d'une des deux parties. Sa démonstration est présentée dans l'article « Isopérimétrie ».
Calcul variationnel Pour l'obtention d'une preuve complète, au moins en dimension 2, une difficulté majeure n'est toujours pas franchie, celle de la preuve de l'existence d'une solution. Les premiers éléments de réponse proviennent de la démarche initiée par Bernoulli. Une hypothèse supplémentaire, un peu étrange, est supposée : la frontière de la surface est lisse. L'étrangeté provient du fait qu'une ondulation sur la surface a tendance à plus augmenter le périmètre que l'aire. Plus la courbe frontière est irrégulière, plus elle est loin de l'optimale, mais plus la démonstration devient difficileCette remarque est issue de , .. Karl Weierstrass (1815-1897) formalise le calcul des variations et établit les bases de l'analyse fonctionnelle. Cette approche consiste à étudier non pas une courbe spécifique, mais un ensemble de courbes qui varient, par exemple à l'aide d'un paramètre. En faisant varier ces courbes, on montre que le cercle est l'optimum recherché.. Au moins pour la dimension 2, une fois l'existence d'un optimum établi pour les surfaces à la frontière régulière, il n'est plus trop difficile de montrer le théorème général, on sait en effet approximer une courbe fermée continue par une autre continûment dérivable.
La généralisation aux dimensions supérieures est naturelle. Dans un premier temps, on suppose l'existence d'une solution au théorème et on montre que cette solution est nécessairement une sphère de dimension n. Le raisonnement est très physique, c'est celui qui détermine la forme d'une bulle de savon. L'équilibre de la bulle est le fruit de deux forces qui s'annulent : la pression due à l'air enfermé dans la bulle et la tension superficielle. Un rapide calcul de variation montre que la courbure moyenne de la sphère est nécessairement constante. En 1900, on sait que le seul compact strictement convexe de courbure moyenne constante est une sphère.. Une fois encore, la démonstration de l'existence d'une solution s'avère la partie délicate. Une première démonstration en dimension 3 est l'œuvre de H. A. Schwarz en 1884.L'essentiel des informations de ce paragraphe provient de ..
Géométrie des convexes thumb|Le mathématicien danois Tommy Bonnesen (1873-1935), auteur d'une inégalité cruciale. Si la démarche fondée sur le calcul variationnel aboutit, la généralisation à des dimensions supérieures n'est pas aisée. Une autre approche, issue de la théorie algébrique des nombres est finalement plus prometteuse. Hermann Minkowski (1864-1909) développe une approche géométrique qui l'amène à étudier le nombre de points à coordonnées entières que contiennent certains convexes, problème proche de l'isopérimétrie. La fonction qui associe à un convexe compact de ℝ, le cardinal de son intersection avec le réseau ℤ est une mesure. Le théorème de Minkowski, qui procède de cette logique, permet d'élucider de manière élégante la structure du groupe des classes d'idéaux. Une nouvelle structure géométrique est étudiée ; au lieu de considérer une géométrie euclidienne de dimension n, Minkowski étudie un ensemble dont les points sont des compacts convexes. Cet ensemble est muni d'une addition.
Felix Hausdorff (1868-1942) trouve une distance naturelle pour un espace un peu plus vaste, celui des compacts. La topologie associée à cette distance est bien adaptée. Les fonctions volume et aire, qui associent à un convexe compact sa mesure et la mesure de sa frontière, sont continues. Il en est de même pour la somme de Minkowski. Enfin, l'espace est complet ainsi que le sous-ensemble des convexes, et les polytopes y forment un ensemble dense.
En dimension 2, l'étude de la somme de Minkowski de la sphère de rayon t et de centre le vecteur nul avec un convexe compact donne l'expression polynomiale a + pt + πt2, où a désigne l'aire du convexe et p son périmètre. Démontrer le théorème isopérimétrique en dimension 2 revient à montrer que p2 est plus grand que 4πa, ce qui revient à dire que l'expression polynomiale précédente admet des racines réelles, ce que fait Minkowski.. va plus loin : en 1921, il démontre que si r est le rayon d'un cercle inscrit et R le rayon d'un cercle circonscrit, on dispose de la majoration suivante. :Autrement dit, l'égalité ne peut avoir lieu que si le convexe est un disque. Quinze ans plus tard, W. FenchelW. Fenchel, « Inégalités quadratiques entre les volumes mixtes des corps convexes », CRAS, vol. 203, 1936, ., puis A. Aleksandrov A. D. Alexandrov, « Neue Ungleichungen für die Mischvolumen konvexer Körper », Dokl. Acad. Sci. URSS, vol. 14, 1937, , ., utilisent cette démarche, généralisée aux dimensions supérieures, pour établir le théorème isopérimétrique général, pour les géométries euclidiennes et la mesure de LebesgueLes deux derniers paragraphes proviennent essentiellement de (leçon donnée le jeudi 7 octobre 1999, rédigée par C. Reydy)..
Plan euclidien Dans tout le paragraphe, S désigne une surface fermée convexe d'un plan euclidien dont l'aire, notée a, est finie et strictement positive ; le périmètre l'est aussi et est noté p.
Dans le plan euclidien, le théorème isopérimétrique prend la forme suivante :
Ce théorème est souvent exprimé sous une forme équivalente, dite « inégalité isopérimétrique » :
Aucune hypothèse n'est nécessaire sur la nature de la surface. Cependant, si elle n'est pas suffisamment régulière, le périmètre n'est pas fini, l'inégalité ne possède alors aucun intérêt.
Démonstrations géométriques élémentaires En dimension 2, on dispose d'une propriété qui simplifie grandement les choses :
Intuitivement, ce théorème est relativement évident. Si S n'est pas convexe, son enveloppe convexe possède une aire strictement plus grande et un périmètre strictement plus petit que S. Pour cette raison, il est pertinent de ne s'intéresser qu'aux surfaces convexes. Comme l'aire et le périmètre d'un convexe, s'ils existent, sont les mêmes que ceux de son adhérence, se limiter aux convexes fermés ne réduit en rien la généralité des solutions trouvées. Enfin, comme toute surface de périmètre fini est bornée, si elle est fermée, elle est nécessairement compacte (cf. l'article « Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie »).
L'article « Isopérimétrie » établit encore deux résultats à l'aide de la géométrie du triangle :
La partie plus difficile à établir est l'existence de telles surfaces.
Calcul des variations Une première manière de simplifier la question est du supposer que la frontière est suffisamment régulière. En 1904, Hurwitz propose une démonstration particulièrement élégante., qui se fonde sur l'inégalité de Wirtinger :
Le prix à payer pour l'élégance et la simplicité est le caractère partiel de la solution. L'existence d'une solution optimale est bien démontrée, mais uniquement si la frontière est lisse. Or la frontière peut être quelconque. Évidemment, si elle n'est pas finie, la formule est vraie mais possède peu d'intérêtOn trouve une démonstration, par exemple, dans ..
Polygone et Steiner
Les démonstrations historiques ont toutes un « chainon manquant ». Elles montrent qu'une surface qui ne possède pas la bonne propriété : être régulier ou être un disque, n'est pas un optimum. En revanche, elle ne montre pas qu'un tel optimum existe. Une fois l'existence d'un tel optimum démontrée, on sait alors qu'il est unique et l'on connait sa géométrie. Mais la démonstration de cette existence est l'élément qui bloque les démonstrations pendant de si nombreux siècles. Elle demande une compréhension d'un aspect alors mal maitrisé de la géométrie : la topologie.