En mathématiques, les énoncés de certaines propriétés d'analyse et résultats de convergence se réfèrent à des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continues par morceaux, dérivables par morceaux
Ces fonctions sont regroupées par classes de régularité qui sont autant d'espaces vectoriels emboîtés, appelés « classe C par morceaux » et notés C.
Sur la droite réelle vignette|Cette fonction n'est pas continue sur ℝ. En revanche, elle y est continue par morceaux. Une fonction est continue par morceaux sur le segment s’il existe une subdivision telle que les restrictions de à chaque intervalle ouvert admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé
Toute fonction continue sur un segment étant réglée, les fonctions continues par morceaux sur le sont également.
Concrètement une telle fonction est continue sur et admet une limite finie à droite et à gauche en chaque (lesquelles peuvent être distinctes et distinctes de la valeur de au point lui-même).
On définit de même les fonctions de classe C par morceaux, linéaires par morceaux On notera qu'une fonction de classe C par morceaux, par exemple, n'est pas nécessairement continue en , mais qu'elle et sa dérivée admettent des limites finies à droite et à gauche en .
Cette notion s'étend naturellement pour les fonctions définies sur un intervalle quelconque : une fonction est dite continue (ou autre propriété) par morceaux sur l'intervalle quand elle est continue (ou autre) par morceaux sur tout segment de .
En dimension supérieure Soient Ω un ouvert borné de ℝ et son adhérence.
Pour simplifier, supposons que Ω est un domaine « régulier » (par exemple et pour fixer les idées, que le théorème de la divergence est valable pour toute fonction suffisamment lisse sur ℝ).
Alors :
une fonction f de dans ℝ est continue par morceaux — noté C() — s'il existe un ensemble fini d'ouverts disjoints Ω tels que et que la restriction de f à chacun des admette un prolongement continu à ℝ ; une fonction f de dans ℝ est de classe C par morceaux — noté C() — si elle est de classe C et s'il existe un ensemble fini d'ouverts disjoints Ω tels que et que la restriction de f à chacun des soit de classe C().
Domaines d'application
La régularité par morceaux est utilisée pour démontrer les résultats importants de certaines théories simplifiées de l'intégration, et leurs applications, comme l'analyse par séries de Fourier.
Voir aussi Fonction affine par morceaux Application linéaire par morceaux
Catégorie:Analyse réelle