vignette|Graphique de la fonction bêta de Drichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C'est la fonction L de Dirichlet associée au caractère de Dirichlet alterné de période 4.
Elle est définie, pour tout complexe de partie réelle strictement positive, par la série : , ou par l'intégrale .
On peut aussi définir la fonction bêta de Dirichlet à partir de la fonction zêta de Hurwitz, définition qui est valable pour tout nombre complexe : .
Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch :
, qui est aussi valable pour tout nombre complexe.
Cette fonction se prolonge en une fonction méromorphe sur le plan complexe.
Équation fonctionnelle L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re(s) < 1.
où est la fonction gamma d'Euler.
Valeurs spéciales
On peut noter les valeurs particulières suivantes :
(voir série de Grandi ) (série de Leibniz)., , où la constante de Catalan, , voir la , , où est la fonction polygamma d'indice 3, voir la , , voir la , .
Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π :
, où les sont des nombres d'Euler. Voir une démonstration dans l'article sur les permutations alternées. Les valeurs de β aux entiers négatifs pairs sont aussi données par les nombres d'Euler : , .
Par contre, on ne connaît pas grand chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs.
On a également :
où désigne la fonction arc tangente intégral d'ordre n.
De plus, par une intégrale de Malmsten, on peut montrer que:
Notes et références
Voir aussi
Fonction êta de Dirichlet ou fonction zêta alternée
Bibliographie J. Spanier et K. B. Oldham, An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987
Lien externe
Beta de Dirichlet