thumb|La suite des polynômes de Bernstein (en vert) converge vers la fonction f qu'elle doit approcher (ici, , en rouge).
En analyse, l'approximation de Bernstein est une méthode d'approximation polynomiale, permettant d'approcher uniformément une fonction continue définie sur le segment [0, 1] par une suite de combinaisons linéaires des polynômes de Bernstein. Cette preuve constructive du théorème d'approximation de Weierstrass est due à Sergueï Natanovitch Bernstein« Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », dans Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2, vol. 13, 1912..
Définition
La -ième approximation de est le polynôme
où les sont les polynômes de Bernstein :
On construit donc à partir des valeurs de aux points 0, , …, et 1 mais, en ces points, la valeur de peut être différente de celle de , autrement dit : l'approximation obtenue n'est pas une interpolation.
La convergence uniforme de vers s'énonce donc de la façon suivante :
Il convient de noter que si est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres, alors n'est rien d'autre que l'espérance de , c'est-à-dire la moyenne de appliquée à la fraction du nombre de succès obtenus sur la répétition de expériences aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli de probabilité de succès . La convergence simple de vers est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre et , on en déduit la convergence uniforme.
Démonstration Les opérateurs linéaires sur C([0, 1]) étant , il suffit, d'après le théorème d'approximation de Korovkin, de vérifier la convergence pour les trois fonctions monomiales f(x) = 1, f(x) = x et f(x) = x.
Or , et , ce qui conclut, 3.6..
Vitesse de convergence
Soit une fonction continue sur , et le module de continuité de . Alors on a l'inégalité Michelle Schatzman, Numerical analysis: a mathematical introduction, Oxford University Press, 2002, Theorem 5.3.2 :
Où représente la norme « infini ».
Ce résultat permet d'assurer une certaine vitesse de convergence de la suite de polynômes de Bernstein vers la fonction , en fonction du module de continuité de .
Références
Articles connexes
Inégalité de Jackson
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