Le moment d'une force par rapport à un point donné est une grandeur physique vectorielle traduisant l'aptitude de cette force à faire tourner un système mécanique autour de ce point, souvent appelé pivot. Il s'exprime en (newtons mètres). Le moment d'un ensemble de forces, et notamment d'un couple, est la somme (géométrique) des moments de ces forces.

La projection du moment (d'une force par rapport à un point) sur un axe Δ (orienté) contenant le point s'appelle moment de la force par rapport à l'axe Δ : c'est une grandeur scalaire algébrique exprimée dans la même unité, et traduisant de même la faculté de la force appliquée à faire tourner le système mécanique autour de l'axe Δ, le signe du moment par rapport à l'axe traduisant le sens de la rotation par rapport à l'orientation choisie de l'axe.

Approche élémentaire : le levier

vignette|Basculera, basculera pas ?

Le concept de moment d'une force par rapport à un point, se distinguant de la force appliquée en un point, remonte dans sa formulation à l'étude d'Archimède sur les leviers. En mécanique statique, c'est l'étude de l'équilibre des moments qui permet de prévoir l'équilibre des bras d'une balance ou l'effet de levier d'une articulation. En dynamique du solide, c'est le déséquilibre de ces mêmes moments qui va mettre en rotation le corps qui y est soumis.

Pour déséquilibrer une planche en équilibre au bord d'un muret, on peut poser une charge sur la partie en porte-à-faux, au-dessus du vide. La capacité de cette charge à faire basculer la planche n'est pas la même suivant qu'elle est posée près du muret ou au bout de la planche. De même on peut, au même endroit, placer une charge plus lourde et constater une différence de basculement.

Le « pouvoir de basculement » dépend donc de l'intensité de la force, mais également de la position relative du point d'application de la force, et du point de rotation réel ou virtuel considéré. On intègre ces trois composantes du problème par le modèle de moment d'une force, qui représente l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point donné, qu'on nommera pivot.

vignette|Balance dite romaine. La capacité à mettre en mouvement un solide par rapport à un axe de rotation correspond également à la mobilisation d'une certaine énergie, qui est ici fournie par la force dont on étudie l'effet de levier. Sous l'effet d'une rotation élémentaire dθ, le point P d'application de la force se déplace d'une distance r · dθ, si r est le « bras de levier », c'est-à-dire la distance du point P à l'axe de rotation. L'énergie fournie au solide dépendra du produit de cette distance r · dθ par la composante de la force parallèle à ce déplacement. Le « pouvoir de basculement » de la force sera donc plus exactement le produit du bras de levier par la composante tangentielle de la force.

Une balance romaine illustre parfaitement ce qu'est l'égalité des moments. Lors d'une pesée, les deux poids suspendus sont sensiblement perpendiculaires au fléau, et donc le « pouvoir de basculement » des deux poids sera équilibré si le produit du poids par la distance est égal dans les deux cas. D'un côté, la distance est fixe mais le poids est inconnu, de l'autre le poids est fixe mais la distance est variable, et la balance permet donc de lire le poids inconnu sur la gradation de longueur portée par le fléau.

Grandeur physique Moment scalaire d'une force vignette|Données du problème et décomposition de la force. vignette|Le moment MO au point O est égal à l'intensité de la force F multipliée par le bras de levier d : MO = F · d. Le moment d'une force s'apprécie par rapport à l'axe autour duquel le solide va tourner. Il s'agit soit d'un axe imposé physiquement par une liaison mécanique, comme dans le mouvement d'une roue, soit du mouvement d'orientation de ce solide par rapport à son centre de gravité, indépendamment du mouvement de ce centre. Dans le cas d'un axe physique, le moment peut être étudié par projection sur un plan perpendiculaire à l'axe, puisque la composante parallèle n'entraînera pas de rotation autour de l'axe. Dans le cas du mouvement autour du centre de gravité, le moment peut de même être étudié dans le plan défini par le centre de gravité, le point d'application de la force, et la direction de cette force, parce que la rotation aura lieu nécessairement par rapport à ce plan faute d'un effort en rotation dans la direction perpendiculaire. Dans un cas comme dans l'autre, le phénomène physique peut s'analyser dans un plan, et l'on cherche à déterminer l'effort en rotation autour d'un point O d'une force appliquée en un point P.

Dans le plan d'étude, si l'on note le vecteur et θ l'angle de à , on voit qu'il est possible de décomposer la force et son effet en deux composants, l'un parallèle à et d'intensité F · cos θ, l'autre perpendiculaire et d'intensité F · sin θ. Clairement, la composante parallèle ne peut pas jouer de rôle dans une rotation par rapport à O, puisqu'elle ne fait que pousser contre l'axe de rotation ; et donc l'effort en rotation ne peut être proportionnel qu'à la composante F · sin θ.

Par définition, la norme MO du moment par rapport à un point O d'une force appliquée en un point P est proportionnelle à cette composante F · sin θ et à la distance OP. De manière équivalente, le moment est égal à l'intensité de la force multipliée par le bras de levier de son point d'application, c'est-à-dire la distance entre le point O et la droite passant par P et de direction , laquelle vaut d = r · sin θ :

Représentation vectorielle du moment vignette|Règle de la main droite :pouce index = majeur.

Par construction, le moment va faire tourner le système physique autour du point O, dans une rotation contenue dans le plan de la figure. Dans l'étude du mouvement d'un solide en trois dimensions, la rotation induite fait glisser sur lui-même le plan passant par le point P d'application de la force, le centre O, et contenant la direction de la force , c'est-à-dire le plan d'étude précédent. Cette même rotation laisse invariant l'axe de rotation, qui est la perpendiculaire à ce plan passant par le centre O.

Physiquement, donc, le moment d'une force par rapport à un point ne peut pas se limiter à un scalaire M = r · F · sin θ, l'effet du moment est intrinsèquement lié à une directionnalité, qui va ici déterminer l'axe de rotation. L'association d'une norme et d'une direction correspond à la notion de vecteur, la définition complète du moment aura ainsi un caractère vectoriel.

Par convention, la représentation du moment sera un vecteur porté par l'axe de rotation, de norme M = r · F · sin θ, et dont le sens est donné par la règle de la main droite. Cette construction est, par définition, le produit vectoriel des deux vecteurs et :

Mnémoniques vignette|Force qui pousse et index vers le point d'application donnent l'orientation du couple, mais avec la main gauche.

La règle de la main droite est une règle générale d'orientation de l'espace, permettant de déterminer dans quel sens est conventionnellement représenté un produit vectoriel. Les trois doigts étant pris dans l'ordre, pouce, index et majeur, la règle est que le produit vectoriel du pouce par l'index est conventionnellement dans la direction du majeur.

La règle de la main droite est la règle générale d'orientation des trièdres directs. Pour l'appliquer, il faut bien noter que dans le produit vectoriel, le déplacement est pris avant la force , l'inversion des deux vecteurs donnerait le résultat inverse (le produit vectoriel est antisymétrique). Pour s'en souvenir, on peut se rappeler que pour faire tourner un système, c'est le point d'application qui est choisi en premier par rapport au point de rotation, l'intensité de la force appliquée étant variable et déterminée ensuite, et le moment résultant, conséquence des deux précédents, vient évidemment en troisième position. On a donc, dans l'ordre :

Si l'on veut s'appuyer non pas sur la règle générale d'orientation du produit vectoriel, mais sur un mnémonique plus parlant, on peut inverser l'ordre de prise en compte et utiliser la règle de la main gauche pour dire que la « force qui pousse » étant dans la direction du pouce, et l'index indiquant la direction du point d'application, l'orientation du couple est donnée par le majeur de la main gauche. Pour se rappeler la différence, on peut par exemple se dire que l'alliance se portant sur la main gauche, c'est à cette main que l'on repère le couple.

Caractère pseudovectoriel du moment

vignette|Image miroir d'un système physique comportant un pseudovecteur . L'image par le miroir change le sens de à cause de la convention d'orientation (règle de la main droite).

Comme précisé ci-dessus, un moment est une grandeur physique qui présente un caractère d'orientation marqué, puisqu'il est nécessairement associé à la direction d'un axe de rotation. Étant défini par une norme et une direction, le moment peut être représenté par un vecteur. Mais ce n'est pas un vecteur vrai, au sens physique du terme, comme le sont un déplacement, une vitesse, ou un champ électrique, lesquels sont entièrement déterminés par la physique du système.

Ici, l'axe de rotation donne bien une direction, mais laisse indéterminé le sens suivant lequel doit être compté le vecteur. Ce sens n'est pas donné par la physique du système, mais par une convention : celle de la règle de la main droite, qui gouverne le sens dans lequel doit être compté un produit vectoriel. C'est pour cette raison que l'on nomme le moment un pseudovecteur, non un vecteur vrai, et que comme tous les produits vectoriels, il est parfois noté avec une flèche courbe , pour rappeler ce caractère en partie artificiel (et lié à un mouvement de rotation).

En pratique, les notations (pseudovecteur) et (vecteur) sont confondues et indifféremment utilisées pour représenter un moment.

Le caractère « non déterminé physiquement » d'un pseudovecteur apparaît si le système physique est remplacé par son image dans un miroir ou par une symétrie centrale. Les règles de la physique sont normalement indépendantes du choix d'un repère pour les exprimer. Donc, pour tout ce qui est physiquement déterminé, on doit avoir la même expression, que le repère soit direct ou indirect. Ce n'est pas le cas du moment : si l'on prend l'image du déplacement et de la force par une symétrie centrale, ce qui revient à les changer de signe, le produit vectoriel ne « voit » qu'une rotation d'un demi-tour dans le plan. Il n'est pas transformé en son symétrique mais reste inchangé, parce que par définition, il est toujours gouverné par la règle de la main droite. Ou, de manière équivalente, son image subit la symétrie centrale du système physique, mais de plus change de signe, à cause de la convention d'orientation. Dans le cas d'une symétrie miroir, de même, un pseudovecteur subit la symétrie physique, et de plus change de signe à cause de la convention d'orientation.

Unités

Le moment d'une force a pour dimension , il s'exprime donc logiquement en dans le Système international d'unités ou, ce qui est équivalent, en newtons mètres (). La mesure d'un moment (bras de levier × force) est effectivement de dimension homogène à un travail ou une énergie (en joules, déplacement × force), mais il est préférable, pour éviter les confusions, d'exprimer cette grandeur dans l'unité qui rappelle comment elle est définieUn moment de force ne sera jamais égal, sauf coïncidence purement numérique, au travail d'une force, ce sont des grandeurs ayant en réalité des dimensions différentes. À la vérité le newton mètre devrait avoir pour symbole m∧N, qui serait différent de m N (= J).. Ces deux grandeurs physiques sont en effet de nature différente, l'énergie étant un scalaire et le moment un pseudovecteur.