En mathématiques, dans le domaine des équations différentielles ordinaires, le théorème de comparaison de Sturm-Picone, du nom de Charles Sturm et Mauro Picone, est un théorème classique qui permet de comparer les solutions de deux équations différentielles voisines. Plus précisément, il fournit des critères d' et de non-oscillation des solutions de certaines équations différentielles linéaires sur les réels.
Soient , pour des fonctions continues à valeurs réelles sur un segment et soient deux équations différentielles homogènes linéaires du second ordre sous forme auto-adjointe :
, .
On suppose que pour tout ,
et
Soit une solution non triviale de (1), soient et des zéros successifs de et soit une solution non triviale de (2). Alors l’une des propriétés suivantes est vérifiée :
Il existe dans tel que ; ou il existe un réel tel que pour tout .
La première partie de la conclusion est due à Sturm (1836). tandis que la deuxième partie (alternative) du théorème est due à Picone en 1910.., dont la preuve beaucoup plus simple dérive de sa désormais célèbre identité de Picone. Dans le cas particulier où les deux équations sont identiques, on obtient le Pour une généralisation de cet important théorème à un théorème de comparaison impliquant trois équations du second ordre ou plus,voir le théorème de comparaison de Hartman-Mingarelli, dont une preuve simple résulte de l'..
Articles connexes Théorie de Sturm-Liouville Identité de Picone
Notes et références
Bibliographie
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Catégorie:Théorème d'analyse Catégorie:Équation différentielle