En géométrie euclidienne, un polygone régulier est un polygone à la fois équilatéral (tous ses côtés ont la même longueur) et équiangle (tous ses angles ont la même mesure). Un polygone régulier est soit convexeIl est commode de considérer le digone comme un polygone convexe, bien qu’il ne soit même pas simple., soit étoilé.
Tous les polygones réguliers convexes d'un même nombre de côtés sont semblables. Tout polygone régulier étoilé à côtés a une enveloppe convexe, qui est un polygone régulier à côtés. Un entier supérieur ou égal à 3 étant donné, il existe un unique polygone régulier convexe à côtés à similitude près
Dans certains contextes, tous les polygones considérés seront convexes et réguliers. Il est alors d'usage de sous-entendre les deux épithètes « convexe régulier ». Par exemple, toutes les faces des polyèdres uniformes doivent être convexes et régulières et les faces seront décrites simplement en tant que triangle, carré, pentagone
Les multiples propriétés des polygones réguliers ont conduit à leur étude mathématique depuis l'Antiquité et à diverses interprétations symboliques, religieuses ou magiques.
Propriétés générales vignette|Hexagone régulier de côté a, inscrit dans un cercle. Le rayon du polygone est R, égal à celui de son cercle circonscrit.
Caractérisations Un polygone est régulier si et seulement s'il est à la fois équilatéral et inscriptible (dans un cercle).
Un polygone est régulier si, et seulement s'il existe une rotation qui envoie chaque sommet sur le suivantGlossaire de Math en Jeans..
Tout polygone régulier est donc non seulement à la fois équilatéral et équiangle (par définition) mais même à la fois isotoxal et isogonal.
Un polygone à côtés est régulier si et seulement si son groupe de symétrie est « le plus gros possible » : d'ordre .
Propriétés supplémentaires Tout polygone régulier est autodual.
Les polygones réguliers à sommets (considérés à similitude près) sont en bijection avec les entiers premiers avec et compris entre 1 et (donc pour , il y en a , où désigne l'indicatrice d'Euler).
Construction à la règle et au compas
Un polygone régulier (convexe ou étoilé) à côtés peut être construit à la règle et au compas si et seulement si est le produit d'une puissance de 2 par des nombres premiers de Fermat distincts ( l'article « Théorème de Gauss-Wantzel »). Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 65 537.
Polygones réguliers convexes Le polygone régulier convexe à côtés correspond à l'angle de rotation .
Angles
Pour un polygone convexe régulier à côtés.
Angle au centre :Les angles au centre sont égaux et leur somme vaut 360°. Un angle au centre a donc pour valeur : Angle externe :Par le même raisonnement, un angle externe vaut également radians soit degrés. Angle interne :Il est supplémentaire de l'angle externe (ou de l'angle au centre) et a donc pour valeur :
Apothème et rayon
La distance entre le centre du polygone et chacun des côtés est appelée l'apothème (c'est le rayon du cercle inscrit).
La donnée d'une des trois longueurs (côté , rayon ou apothème ) permet de connaître les deux autres et donc de caractériser le polygone.
Si l'on note la moitié du côté d'un polygone régulier à côtés, ces longueurs sont liées par le théorème de Pythagore :
et par les formules de trigonométrie suivantes (les angles étant exprimés en radians) :
dont on déduit respectivement :
Périmètre et aire
Le périmètre P d'un polygone régulier convexe à côtés (n ≥ 3) de longueur est bien sûr égal à . Quant à son aire S, c'est la somme des aires de n triangles (isocèles) de hauteur (l'apothème) et de base , donc : .
Des relations précédentes entre , et le rayon du polygone, on déduit alors : ; la dernière égalité utilise en outre une identité trigonométrique : .
Puisque est équivalent à quand tend vers 0, le périmètre tend vers quand tend vers l'infini, et l'aire vers . On retrouve bien la circonférence du cercle et l'aire du disque.
Les polygones convexes réguliers ont une propriété remarquable, connue depuis les Grecs. Parmi tous les polygones de même nombre de côtés et de même périmètre, celui qui est convexe régulier possède la plus grande aire. Cette aire, toujours plus petite que celle du cercle de même rayon, s'en rapproche au fur et à mesure que devient plus grand. Ces propriétés sont traitées dans l'article « Isopérimétrie ».
CôtésNomAire exacte si = 1 Demi périmètre si 3Triangle équilatéral2,59807624Carré2.82842715Pentagone régulier2,93892636Hexagone régulier3,0000007Heptagone régulier3,03718628Octogone régulier3,06146759Ennéagone régulier3,078181310Décagone régulier3,090169911Hendécagone régulier3,099058112Dodécagone régulier3,105828513Tridécagone régulier3,111103614Tétradécagone régulier3,115293115Pentadécagone régulier3,118675416Hexadécagone régulier3,121445217Heptadécagone régulier3,123741818Octadécagone régulier3,125667219Ennéadécagone régulier3,127297220Icosagone régulier3,128689330Triacontagone régulier3,1358539100Hectogone régulier3,14107591 000Chiliagone régulier3,141587510 000Myriagone régulier3,1415926
On remarque que si le rayon est égal à 1, le demi-périmètre s'approche de plus en plus de .
Équation polaire Le polygone régulier à côtés, de symbole ( pour le cas non croisé) ; centré en (0, 0), de cercle circonscrit de rayon 1 et possédant un sommet en peut s'obtenir par l'équation polaire suivantePolarEquation for Regular Polygons:
Polygones réguliers non convexes
Un exemple de polygone régulier étoilé (ce qui équivaut à « régulier croisé », ou à « régulier non convexe ») est le pentagramme, qui a les mêmes sommets que le pentagone régulier convexe, mais qui est connecté par des sommets alternés.
Les premiers polygones étoilés sont : Pentagramme - {5/2} Heptagrammes - {7/2}, {7/3} Octagramme - {8/3} Ennéagrammes - {9/2}, {9/4} Décagramme - {10/3}
Polyèdres Un polyèdre uniforme est un polyèdre avec des polygones réguliers pour faces tels que pour chaque paire de sommets, il existe une isométrie appliquant l'un sur l'autre. Le mot polygone vient du mot poly (plusieurs) et gone (angles).
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Nombre polygonal Pavage par des polygones réguliers Théorème de Viviani Constante de Kepler-Bouwkamp
Liens externes Description de polygone régulier avec une animation interactive Cercle inscrit d'un polygone régulier avec une animation interactive Aire d'un polygone régulier Trois formules différentes, avec une animation interactive Géométrie de fleurs avec un polygone régulier Correspondances entre les figures et le tracé des fleurs
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