La logique pertinente. ou logique de la pertinence. désigne une famille de systèmes logiques qui ont été développées pour modéliser le raisonnement tout en évitant les , des . Ces logiques ont été développées par des figures telles que , Val Plumwood, , , , , , Kit Fine ou encore .
Ce sont des logiques sociatives, c'est-à-dire que toute tautologie conditionnelle doit avoir du contenu en commun entre impliquant et impliqué. Dans le cas des logiques propositionnelles pertinentes, cette sociativité est formalisée par la propriété de partage des variables, à savoir que tout théorème conditionnel doit admettre au moins une variable propositionnelle commune à leur antécédent et leur conséquent.. Dans les logiques pertinentes du premier ordre, cette sociativité est généralisé au partage de prédicats dits pertinents. Un dernier point de caractérisation des logiques pertinentes est leur invalidation de la règle d'Ackermann, même si elle est admissible dans la plupart des systèmes pertinents restreignant son application aux seules prémisses tautologiques.., une forme de syllogisme disjonctif qui rendrait valide, qu'on peut traduire en langage naturel comme .
Paradoxes de l'implication matérielle Le terme d'implication matérielle réfère à l'équivalence, en logique de Frege-Russell, entre d'une part, d'autre part . Il est toutefois à noter que les paradoxes qu'on y associe prennent leur origine dans des logiques plus faibles.
Déjà en logique minimale, duquel découle notamment la logique de Frege-Russell, est admise comme tautologie . On appelle ce théorème le paradoxe positif.
Au-delà de la logique minimale, nous pouvons obtenir la logique intuitionniste en rajoutant la règle de syllogisme disjonctif . Cela rajoute toutefois le paradoxe dit de la vérité creuse, posant en tautologie la formule suivante : .
est en réalité la curryfication de , ce qui fait que la vérité creuse et le principe d'explosion sont minimalement équivalentes.
En validant à la fois le paradoxe positif et de la vérité creuse, la logique intuitionniste valide la tautologie par simple gauche. Grâce à cela, la règle est validée en logique intuitionniste. Toutefois, l'implication intuitionniste n'est pas encore matérielle, car la réciproque n'est pas une tautologie intuitionniste, comme nous pouvons le remarquer dans l'algèbre de Heyting dans lequel .
Un paradoxe plus spécifique à l'implication matérielle, notée ⊃, est la tautologie suivante : . Une application directe permet de valider tautologiquement la disjonction entre toute formule conditionnelle avec sa réciproque, rendant tautologique .
Ces différents paradoxes ont ainsi motivé la formalisation de logiques permettant de les palier. En repérant que nombre de ces paradoxes à la fois permettent de démontrer une tautologie conditionnelle dont l'impliquant et l'impliqué ne partagent aucune formule atomique d'une part, se dérivent généralement de la validité de la règle γ d'Ackermann d'autre part, les logiques pertinentes ont été développées dans l'optique de les éviter. Le paradoxe positif, quant à lui, pousse ces logiques à affaiblir la de sorte à assurer que la conclusion se serve effectivement de l'hypothèse initiale, conduisant à une approche des hypothèses comme ressources que nous détaillerons.
Propriété de partage de variables
La propriété de partage de variables décrit qu'une formule conditionnelle ne peut être un théorème que lorsque et partagent une variable propositionnelle commune. Par exemple, ne peut être un théorème, car l'antécédent n'admet que pour variable et le conséquent n'a que , ce qui fait qu'elles n'ont aucune variable commune.
Propriété fonctionnelle caractéristique Dans Rozek & Tedder (2026)., on retrouve une propriété caractéristique de la propriété de partage de variables, dans le mesure de l'existence d'un modèle sémantique fonctionnel correct pour la logique considérée. On pose donc un tel modèle avec l'ensemble des valeurs et l'ensemble des valeurs désignées. Cette propriété caractéristique nécessite de trouver deux ensembles et qui vérifient les propriétés suivantes : et sont des parties non-vides de . et sont des ensembles stables par toutes les opérations logiques. Pour toutes valeurs et on a (non-désignée).
Nous pouvons démontrer le sens principal, à savoir que si de tels ensembles et existent, alors le système logique modélisé a la propriété de partage des variables.
Dans le modèle de décrit dans la section sur les monoïdes de De Morgan, nous pouvons prendre et qui permet de vérifier que admet la propriété de partage de variables.
Propriétés fortes de partage des variables Un exemple de propriété forte de partage de variables est le principe proscriptif de . Celle-ci demande pour que pour une formule conditionnelle puisse être un théorème, il faut que l'ensemble des variables propositionnelles présentes dans le conséquent soit inclu dans l'ensemble des variables propositionnelles présentes dans l'antécédent.. Une règle commune qui est bloquée par cette propriété plus forte, notamment, est la règle d'addition, principalement sous forme de théorèmes, et
À partir de la propriété caractéristique de Rozek & Tedder (2026), nous pouvons imposer ce renforcement en demandant que toute opération logique renvoient une valeur dans dès qu'elles combinent des valeurs dans avec des valeurs dans . De la sorte, s'il y a davantage de variables dans le conséquent que dans l'antécédent, nous pouvons assigner toute variable de l'antécédent à une valeur dans , tandis que toutes les autres variables seront assignées à une valeur dans , de sorte que l'antécédent soit à valeur dans et le conséquent soit à valeur dans , rendant l'implication non-désignée. Un exemple de sémantique fonctionnelle avec ce principe proscriptif est donné par ces tables, avec et
t1 f1 t2 f2 f1 t1 f2 t2{| class="wikitable" style="text-align: center" t1 t2 f1 f2 t1 t1 f2 f1 f2 t2 t2 t2 f2 f2 f1 t1 f2 t1 f2 f2 t2 t2 t2 t2
| {| class="wikitable" style="text-align: center" |- ! ! t1 !! t2 !! f1 !! f2 |- ! t1 | t1 || t2 || t1 || t2 |- ! t2 | t2 || t2 || t2 || t2 |- ! f1 | t1 || t2 || f1 || f2 |- ! f2 | t2 || t2 || f2 || f2
{| class="wikitable" style="text-align: center" |- ! ! t1 !! t2 !! f1 !! f2 |- ! t1 | t1 || t2 || f1 || f2 |- ! t2 | t2 || t2 || f2 || f2 |- ! f1 | f1 || f2 || f1 || f2 |- ! f2 | f2 || f2 || f2 || f2
Une autre propriété, souvent simplement appelée propriété forte de partage de variables, demande que si une formule conditionnelle est un théorème, alors l'antécédent et le conséquent partagent une variable propositionnelle avec la même polarité, positive ou négative..
Systèmes logiques pertinents
La logique (First Degree Entailment) est la base commune aux systèmes logiques pertinents.. Ce système est parfois caractérisé comme une logique fonctionnelle doté de trois opérations logiques, , et de quatre valeurs de vérité, à savoir (), (), (), (), desquelles seules et sont désignées. Les tables de vérité sont définies de manière assez standard à partir d'une algèbre de Boole à quatre valeurs, où et remplissent les deux valeurs intermédiaires, comme le montre ce diagramme de Hasse : ⟋ ⟍ ⟍ ⟋ Cela nous donne alors ces tables de vérité suivantes à l'instar de l'algèbre de Boole à quatre valeurs, où la conjonction est alors associée à l'infimum, la disjonction au supremum :
Si n'était pas désignée, si et étaient négations l'une de l'autre, nous obtiendrions exactement la logique de Frege-Russell. En effet, le principe de bivalence ne s'applique pas à la logique de Frege-Russell, en cela qu'il admet des modèles algébriques et fonctionnels dont les cardinaux de l'ensemble de valeurs sous-jacent sont des puissances de deux (2, 4, 8, 16...), plus généralement le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble si l'on s'attaque à des modèles avec une infinité de valeurs.
est une logique paracohérente, au sens qu'il ne valide pas le principe d'explosion, que . Pour cela, il suffit d'expliciter un contre-exemple. Prenons de valeur , de valeur : La négation de sera alors aussi de valeur , ce qui donne à la prémisse une valeur donc désignée, alors que la conclusion ne l'est pas, ce qui n'est pas possible par propriété de la désignation. Cette paracohérence vient principalement de la valeur qui apporte une valeur de surplus (glut en anglais), c'est-à-dire dont elle-même et sa négation sont toutes deux désignées, ainsi que de la présence d'au moins une valeur non désignée, en l'occurrence et . Richard Sylvan parle de logique parapertinente pour désigner une logique à la fois pertinente et paracohérente, comme c'est le cas pour .
est aussi une logique paracomplète, au sens qu'il ne valide pas le principe du tiers exclu, que . De la même manière, nous pouvons expliciter un contre-exemple. Prenons de valeur , de valeur : La négation de sera alors aussi de valeur , ce qui donne à la conclusion une valeur donc non désignée, alors que la prémisse l'est, ce qui n'est pas possible par propriété de la désignation. Cette paracomplétude vient principalement de la valeur qui apporte une valeur trou (gap en anglais), c'est-à-dire dont ni elle-même ni sa négation n'est désignée, ainsi que la présence d'au moins une valeur désignée, en l'occurrence et .
Enfin, n'admet aucune tautologie, ce qui en fait une logique sociative par absence de tautologie conditionnelle dont l'impliquant et l'impliqué ne partageraient aucune variable propositionnelle. En outre, ne validant pas la règle d'Ackermann, puisque alors que , devient de plus une logique pertinente.
Déduction naturelle
Dans les systèmes pertinents de déduction naturelle, où il n'y a qu'une seule alternative possible dite conclusion, on collecte les hypothèses de chaque séquent dans des -uplets, de telle sorte que l'ordre importe entre les prémisses, et les conclusions deviennent des formules indicées par des ensembles d'entiers naturels, de sorte à ce qu'ils aient la forme où . L'indice de cette conclusion sert à en expliciter le contexte, les hypothèses qu'il utilise ; Avec cette structure de séquent enrichi, on peut alors vérifier que chaque hypothèse est bien utilisée et formuler des règles qui les prennent en compte, traitant chaque hypothèse quelque peu comme une ressource, à l'instar de la logique linéaire., qu'il nous faut utiliser pour, par exemple, démontrer une implication. Afin d'alléger la notation, nous pourrons omettre l'indice s'il est l'ensemble vide, de sorte puisse être écrit . Les règles que nous proposerons ici se baserons sur Brady (1984)., par ailleurs mentionné dans Standefer (2024).
Pour raisonner avec ces séquents enrichis, il nous faut des règles structurelles plus spécifiques : (hypothèse) (réitération)
peut être caractérisé par un certain nombre de règles à partir de cette formalisation pertinente de la déduction naturelle : Règles Introduction Élimination Conjonction Disjonction Double négation Lois de De Morgan
(base) est une extension implicative et pertinente de , dont les règles sont les suivantes :
Règles Introduction Élimination Implicationoù si Conjonction Disjonctionoù si Distributivité NégationNC Double négation
De découle les logiques pertinentes ., (ticket entailment), (weakened ), (relevant entailment) et (relevant implication), avec le diagramme de Hasse suivant pour leurs inclusions respectives :
│ │ ⟋ ⟍ ⟍ ⟋