En physique théorique, la correspondance anti de Sitter/théorie conforme des champs (en anglais : , d'où son abréviation en correspondance AdS/CFT) est une conjecture reliant deux types de théories. Les théories conformes des champs (CFT) occupent un côté de la correspondance ; ce sont des théories quantiques des champs qui incluent des théories similaires à celles de Yang-Mills qui décrivent les particules élémentaires. De l'autre côté, les espaces anti de Sitter (AdS) sont des théories de gravité quantique, formulées en termes de théorie des cordes ou de théorie M. La correspondance est également appelée parfois dualité de Maldacena ou dualité jauge/gravité.
La dualité représente une avancée majeure dans la compréhension de la théorie des cordes et de la gravité quantique car elle fournit une formulation de la théorie des cordes avec certaines conditions aux limites et parce qu'elle est la réalisation la plus réussie du principe holographique, un concept de gravité quantique proposé à l'origine par Gerard 't Hooft puis amélioré et mis en avant par Leonard Susskind.
Elle fournit également un outillage puissant pour étudier les théories quantiques de champs fortement couplés. L'intérêt de la dualité provient essentiellement du fait qu'il s'agit d'une dualité forte/faible : quand les champs de la théorie quantique interagissent fortement, ceux de la théorie gravitationnelle interagissent faiblement et peuvent ainsi être plus facilement appréhendés mathématiquement. Ceci a permis d'étudier des aspects complexes de la physique nucléaire et de la physique de la matière condensée en les traduisant en termes de théorie des cordes, plus aisés.
La correspondance AdS/CFT est proposée pour la première fois par Juan Maldacena à la fin 1997. Des aspects importants sont élaborés dans des articles de , et Alexander Polyakov, et Edward Witten. En , l'article de Maldacena approche les citations, ce qui en fait l'article le plus cité dans le domaine de la physique des hautes énergies.
Contexte
Gravité quantique et cordes
La compréhension actuelle de la gravitation est basée sur la relativité générale. Formulée en 1916 par Albert Einstein, la relativité générale explique la gravitation en termes de géométrie de l'espace et du temps (ou espace-temps). Elle est formulée dans le langage de la physique classique développé par des physiciens comme Isaac Newton et James Clerk Maxwell. Les autres forces non-gravitationnelles sont expliquées dans le cadre de la mécanique quantique. Développée dans la première moitié du par un certain nombre de physiciens, la mécanique quantique décrit les phénomènes physiques de façon radicalement différente, sur la base de probabilités.
La gravité quantique est la branche de la physique qui cherche à décrire la gravitation en utilisant les principes de la mécanique quantique. Actuellement, l'approche la plus populaire est la théorie des cordes, qui modélise les particules élémentaires non pas comme des points sans dimension mais comme des objets à une dimension appelés des cordes. Dans la correspondance AdS/CFT, on prend en compte typiquement les théories de gravité quantique dérivées de la théorie des cordes ou de son extension moderne, la théorie M.
Dans la vie courante, il existe trois dimensions d'espace familières (haut/bas, gauche/droite, avant/arrière) et une dimension de temps. Ainsi, dans le langage de la physique moderne, l'espace-temps est dit à quatre dimensions. L'une des particularités de la théorie des cordes et de la théorie M est qu'elles nécessitent des dimensions supplémentaires d'espace-temps pour leur cohérence mathématique : l'espace-temps de la théorie des cordes est à 10 dimensions, celui de la théorie M à 11 dimensions. Les théories de gravité quantique apparaissant dans la correspondance adS/CFT sont typiquement obtenues grâce à un procédé appelé , produisant un espace-temps au nombre de dimensions réduit, les dimensions supplémentaires étant « enroulées » en cercles.
Une analogie courante pour la compactification est de considérer un objet multidimensionnel comme un tuyau d'arrosage. Vu d'assez loin, il semble n'avoir qu'une dimension, sa longueur, mais en s'en approchant on découvre qu'il possède une autre dimension, sa circonférence. Une fourmi se déplaçant sur sa surface intérieure bougerait en deux dimensions.
Théorie quantique des champs
L'application de la mécanique quantique aux objets physiques tels que le champ électromagnétique, qui s'étendent dans l'espace et le temps, est appelée théorie quantique des champs. En physique des particules, les théories quantiques des champs forment la base de la compréhension des particules élémentaires, qui sont modélisées comme excitations de champs fondamentaux. Les théories quantiques des champs sont également utilisées en physique de la matière condensée pour modéliser des objets ressemblant à des particules, des quasi-particules.
La correspondance AdS/CFT prend en compte certaines formes de théories quantiques des champs appelées théories conforme des champs. Il s'agit de formes particulières, symétriques et mathématiquement bien formées, de théories quantiques des champs (elles sont caractérisées par leur lors de transformations conformes). Ces théories sont souvent étudiées dans le contexte de la théorie des cordes, où elles sont associées à la surface décrite par une corde se propageant dans l'espace-temps (les théories conformes en 2D étant particulièrement riches), et en physique statistique, où elles modélisent des systèmes à un point critique.
Présentation de la correspondance
Géométrie d'un espace anti de Sitter
vignette|Un espace anti de Sitter tridimensionnel ressemble à un empilement de disques hyperboliques, chacun représentant l'état de l'univers à un instant donné. L'espace-temps résultant ressemble à un cylindre solide. Dans la correspondance AdS/CFT, on considère la théorie des cordes ou la théorie M sur un fond anti de Sitter, c'est-à-dire que la géométrie de l'espace-temps est décrite en termes d'une certaine de l'équation d'Einstein appelée espace anti de Sitter.
En termes très généraux, un espace anti de Sitter est un modèle mathématique d'espace-temps où la notion de distance entre les points (la métrique) est différente de celle en géométrie euclidienne ordinaire. Elle est fortement liée à un espace hyperbolique, qui peut être vu comme un disque tel qu'illustré sur la droite. Dans cette image, un disque est pavé par des triangles et des carrés. Il est possible de définir une distance entre les points de ce disque telle que tous les triangles et carrés aient la même taille et que la frontière circulaire extérieure soit infiniment loin de tout point de l'intérieur.
Si on empile des disques hyperboliques représentant l'état de l'univers à un instant donné, l'objet géométrique résultant est un espace anti de Sitter tridimensionnel. Il ressemble à un cylindre dont chaque section est une copie du disque hyperbolique. Dans la figure ci-contre, le temps s'écoule le long de la verticale. La surface du cylindre joue un rôle important dans la correspondance AdS/CFT. Tout comme le plan hyperbolique, l'espace anti de Sitter est incurvé de telle façon que tout point de son intérieur est infiniment éloigné de la surface. La relation mathématique entre l'intérieur et la surface d'un espace anti de Sitter est liée à la de Charles Fefferman et Robin Graham.
Cette construction décrit un univers hypothétique possédant seulement deux dimensions d'espace et une dimension de temps, mais elle peut être généralisée à un nombre arbitraire de dimensions.
Le concept d'AdS/CFT Une caractéristique importante d'un espace anti de Sitter est sa frontière (qui ressemble à un cylindre dans le cas d'un espace tridimensionnel). L'une des propriétés de cette frontière est que, localement autour de chaque point, elle ressemble à un espace de Minkowski, le modèle d'espace-temps utilisé en physique non-gravitationnelle.
Il est alors possible de considérer une théorie auxiliaire où l'« espace-temps » est donné par la frontière de l'espace anti de Sitter. Cette observation est le point de départ de la correspondance AdS/CFT, qui déclare que la frontière d'un espace anti de Sitter peut être vue comme l'« espace-temps » d'une théorie conforme des champs. La correspondance affirme que cette théorie conforme des champs est équivalente à une théorie gravitationnelle sur le volume de l'espace anti de Sitter, dans le sens qu'il existe un « dictionnaire » traduisant les calculs d'une théorie en calculs de l'autre. Chaque entité d'une théorie a son équivalent dans l'autre théorie. Par exemple, une particule de la théorie gravitationnelle correspond à un ensemble de particules sur la théorie frontière. De plus, les prédictions des deux théories sont quantitativement identiques : si deux particules ont 40 % de chances d'entrer en collision dans la théorie gravitationnelle, alors les ensembles correspondants dans la théorie frontière ont également 40 % de chances d'entrer en collision.
La frontière d'un espace anti de Sitter a moins de dimensions que l'espace anti de Sitter lui-même. Par exemple, dans l'exemple tridimensionnel illustré plus haut, la frontière est une surface à deux dimensions. La correspondance AdS/CFT est souvent décrite comme une « dualité holographique » car cette relation entre les deux théories est similaire à la relation entre un objet tridimensionnel et son image par holographie : bien qu'un hologramme soit bidimensionnel, il porte encore l'information des trois dimensions de l'objet qu'il représente. De façon similaire, les théories qui sont liées par la correspondance AdS/CFT sont conjecturées comme étant exactement équivalentes, bien qu'existant dans un nombre de dimensions différent. La théorie conforme des champs est comme un hologramme qui capture l'information d'une théorie de gravité quantique possédant plus de dimensions.
Exemples À la suite de l'idée de Maldacena en 1997, les théoriciens ont découvert plusieurs réalisations de la correspondance AdS/CFT, reliant diverses théories conformes des champs à des compactifications de théorie des cordes ou de théorie M dans un nombre de dimensions varié. Les théories impliquées ne sont généralement pas des modèles viables du monde réel, mais possèdent certaines propriétés qui les rendent utiles pour résoudre des problèmes en théorie quantique des champs et en gravité quantique (elles impliquent typiquement des supersymétries ou un nombre de dimensions d'espace-temps sans sens physique).
L'exemple le plus connu conjecture que la théorie des cordes de type II sur l'espace produit AdS5×S est équivalente à la sur sa frontière à quatre dimensions. Dans cet exemple, l'espace-temps de la théorie gravitationnelle est effectivement à cinq dimensions (d'où la notation AdS5) et il existe cinq dimensions additionnelles « compactées » (notées par S) ; le monde réel possédant quatre dimensions — au moins macroscopiquement —, cette version de la correspondance n'est pas un modèle réaliste de la gravité. De même, la théorie duale n'est pas un modèle viable car elle suppose une supersymétrie étendue (plus précisément, c'est une théorie de Yang-Mills supersymétrique sur l'espace R avec supersymétrie étendue N=4 et groupe de jauge U(N)). Néanmoins, cette théorie frontière partage certaines caractéristiques avec la chromodynamique quantique, la théorie décrivant l'interaction forte : elle décrit des particules similaires aux gluons de la chromodynamique quantique ainsi que certains fermions. En conséquence, elle a trouvé des applications en physique nucléaire, particulièrement dans l'étude du plasma quark-gluon.