En mathématiques, la loi des cosinus est un théorème de géométrie couramment utilisé en trigonométrie, qui relie dans un triangle la longueur d'un côté à celles des deux autres et au cosinus de l'angle formé par ces deux côtés. Cette loi s'exprime de façon analogue en géométrie plane, sphérique ou hyperbolique. Cette loi généralise le théorème de Pythagore.
Les Éléments d'Euclide contenaient déjà une approche géométrique de la généralisation du théorème de Pythagore dans deux cas particuliers : ceux d'un triangle obtusangle et d'un triangle acutangle. Le développement, au Moyen Âge, de la trigonométrie arabo-musulmane permit au théorème d'évoluer dans sa forme et dans sa portée : l'astronome et mathématicien al-Battani généralisa le résultat d'Euclide à la géométrie sphérique au début du Xe siècle, et l'introduction des fonctions trigonométriques permit à Ghiyath al-Kashi, mathématicien de l'école de Samarcande, de mettre le théorème sous une forme utilisable pour la triangulation au cours du .. La propriété a été popularisée en occident par François Viète qui l'a vraisemblablement redécouverte indépendamment.
En ce qui concerne la géométrie plane, cette loi est connue sous les noms de théorème d'Al-Kashi, ou encore théorème de Pythagore généralisé.. Le nom francisé du mathématicien persan Ghiyath Al-Kashi (1380-1429) apparut dans les années 1990 dans les manuels scolaires édités en France, les appellations théorème de Pythagore généralisé ou loi des cosinus étant utilisées jusque-là..
En géométrie plane Énoncé
Soit un triangle, pour lequel on utilise les notations usuelles exposées sur la figure 1 : d'une part , et pour les angles et, d'autre part, , et pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles. Alors la loi des cosinus, ou relation d'Al-Kashi, s'écrit, concernant l'angle en :
On obtient des relations similaires concernant les angles en et en par permutations de .
Histoire
Les Éléments d'Euclide, du , contiennent déjà une approche géométrique de la généralisation du théorème de Pythagore : les propositions 12 et 13 du livre II, traitent séparément le cas d'un triangle obtusangle et celui d'un triangle acutangle. L'absence de fonction trigonométrique et d'algèbre oblige à formuler le théorème en termes de différences d'aires. Aussi la proposition 12 énonce-t-elle :
En notant le triangle ayant un angle obtus en et le pied de la hauteur issue de , les notations modernes permettent de résumer l'énoncé ainsi :
Il faut attendre la trigonométrie arabo-musulmane au Moyen Âge pour voir le théorème évoluer dans sa forme et dans sa portée. Durant la même période sont établies les premières tables trigonométriques, pour les fonctions sinus et cosinus. En 1428, on trouve un énoncé du théorème, utilisant les cosinus, dans l'œuvre d'al-Kashi, Les clés de l'arithmétique ()..
C'est au début du que les notations algébriques modernes permettent d'écrire le théorème sous sa forme actuelle et qu'il prend dans de nombreuses langues le nom de loi (ou théorème) des cosinus.
Le théorème et ses applications
La loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore, puisqu'elle permet d'énoncer que l'angle est droit (autrement dit ) si et seulement si .
Plus généralement, le théorème s'utilise en triangulation pour résoudre un triangle, à savoir déterminer le troisième côté d'un triangle dont on connaît un angle et les côtés adjacents : ; les angles d'un triangle dont on connaît les trois côtés :
Ces formules sont instables numériquement dans le cas de triangles en épingle, c'est-à-dire lorsque est petit devant et — ou, de façon équivalente, lorsque est petit devant 1.
Il existe un corollaire de la loi des cosinus : pour deux triangles directement semblables et
On peut aussi obtenir la formule de Héron :
Partant de et des formules trigonométriques ,
on obtient les formules suivantes où désigne le demi-périmètre : On peut aussi n'utiliser que la formule : On en déduit l'aire du triangle : Démonstrations Tout comme le théorème de Pythagore, la loi des cosinus possède de nombreuses démonstrations, certaines utilisant des propriétés sur les aires comme celles d'Euclide ou la loi des cosinus, d'autres utilisant des propriétés trigonométriques ou liées au cercle. Enfin, la loi des cosinus peut être vue comme une application des propriétés sur le produit scalaireLa , vue comme application du produit scalaire, était explicitement présente jusqu'en 2010 dans les programmes de mathématiques de première S de l'enseignement français (voir BO du 31 aout 2000). Elle ne figure plus qu'implicitement dans le programme de 2010, parmi les : par exemple ..
Démonstration d'Euclide thumb|Fig. 4a - Démonstration de la loi des cosinus pour un angle obtus : « selon Euclide ».|upright=1.5 La démonstration d'EuclideDenis Henrion (trad.), Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide, 1632, . par la proposition 12 (angle obtus) et 13 (angle aigu) s'appuie sur le théorème de Pythagore et fait intervenir le point H pied de la hauteur issue de B. Pour Euclide cette propriété est une propriété sur des aires. Pour l'angle obtus (proposition 12), Euclide construit le carré extérieur au triangle de côté et remarque que
Il lui suffit alors d'ajouter l'aire du carré de côté
et d'utiliser le théorème de Pythagore deux fois dans le triangle rectangle
dans le triangle rectangle
Après simplification, on obtient vignette|Fig. 4b - Démonstration de la loi des cosinus pour un triangle acutangle.|344x344px Une démonstration analogue est réalisable pour l'angle aigu :
Démonstration d'Al-Kashi
Dans son livre Clé de l'arithmétique en 1429Selon , la démonstration se trouve dans KASHI (al) (1967): Miftam al-misab [Clé de l'Arithmétique], al-Damardache, A. S. & al-Manfi al-Shikh, M. M. (Edit.), Le Caire, Dar al-Kitab al-cArabi li at-tibaqa wa an-Nashr, ., Al-Kashi généralise le théorème de Pythagore et introduit dans l'égalité la trigonométrie.
Pour lui aussi, cette propriété est liée aux aires. Ainsi dans un triangle acutangle ABC, il mène par A, B et C les 3 hauteurs du triangle, qui découpent dans les carrés s'appuyant sur CB, CA et AB des rectangles.
Dans la figure ci-contre, on prouve l'égalité des aires des rectangles verts en prouvant l'égalité des aires des triangles JAE et JAB par glissement d'un sommet parallèlement à une base ; JAB et CAM par rotation d'angle droit ; CAM et FAM par glissement d'un sommet parallèlement à une baseVoir cette .. vignette|Fig. 5b - Démonstration par les aires On fait de même pour les rectangles rouges.
Quant aux rectangles bleus, dont les côtés ont pour longueur CL (= CA) et CE (= CB cos Ĉ), pour l'un, et CI (= CB) et CD (= CA cos Ĉ) pour l'autre, ils ont même aire égale à CA × CB × cos Ĉ.
Il faut préciser qu'on pourrait aussi démontrer l'égalité des rectangles rouges et verts de cette manière en calculant leurs surfaces par les projections orthogonales.
On en déduit par somme
vignette|Fig. 5c - Démonstration de la loi des cosinus pour un triangle obtusangle.|344x344px Une démonstration analogue est envisageable pour un triangle obtusangle en opérant par soustraction d'aires. Dans ce cas les points D et E, bases des hauteurs issues de A et B, sont extérieurs au triangle ABC. Par le même procédé de glissement de triangles et de rotation de 90° on voit que le grand carré ABMO a la même aire AB2 que la somme des rectangles AEJK et BDGH d'aire AE×AC+BD×BC. Or l'aire du carré de côté AC vaut : AC2=AE×AC-CE×AC et l'aire du carré de côté BC vaut : BC2=BD×BC-CD×BC. Et comme CD=AC×cos(π-Ĉ)=-AC×cosĈ et CE=BC×cos(π-Ĉ)=-BC×cosĈ, alors la somme s'écrit : AC2+BC2=AB2+2AC×BC×cosĈ. Sachant que cosĈ est négatif on vérifie bien une soustraction d'aire.
Par un découpage d'aires
Un certain nombre des démonstrations du théorème font intervenir un calcul d'airesVoir par exemple , et plus généralement l'article « Preuve sans mots ».. Il convient en effet de remarquer que , et sont les aires de carrés de côtés respectifs , et ; est celle d'un parallélogramme de côtés et formant un angle , le changement de signe de lorsque l'angle devient obtus rendant une étude par cas obligatoire.
La figure 6a (ci-contre) découpe un heptagone de deux manières différentes de sorte à démontrer le théorème d'Al-Kashi dans le cas d'un angle aigu. Interviennent : en rose, les aires , à gauche, et les aires et à droite ; en bleu, le triangle ABC, à droite comme à gauche ; en gris, quelques triangles supplémentaires, identiques au triangle ABC et en même nombre dans les deux découpages.
L'égalité des aires de droite et de gauche donne .
La figure 6b (ci-contre) découpe un hexagone de deux manières différentes de façon à démontrer le théorème d'Al-Kashi dans le cas d'un angle obtus. La figure montre en rose, les aires , et à gauche, et l'aire à droite ; en bleu, deux fois le triangle ABC, à droite comme à gauche.
L'égalité des aires à droite et à gauche donne .
Une démonstration rigoureuse nécessiterait de prouver que les deux découpages sont effectivement identiques, ce qui utilise principalement les cas d'égalité des triangles.
Par le théorème de Pythagore
La figure 7 (ci-contre) indique la manière de procéder pour démontrer la loi des cosinus dans le cas d'un triangle à angles aigus en utilisant le théorème de Pythagore sur un sous-triangle rectangle formé en prenant le pied de la hauteur.. Seule la dernière étape n'est pas indiquée sur la figure : le théorème de Pythagore s'applique au triangle rectangle dont l'hypoténuse est le côté c :
En utilisant l'identité remarquable
on obtient le résultat escompté, après simplification :
La méthode est en tous points similaire pour les angles obtus, et conduit à un résultat identique.
Par les triangles semblables vignette|Fig. 8 - Démonstration par les triangles semblables. On peut à l'intérieur d'un triangle quelconque ABC dessiner deux triangles semblables AEC et BCD ainsi que la hauteur issue de C. Dans le cas d'un triangle obtusangle comme dans la figure 8, on a par la loi d'égalité des rapports de côtés : CD=CE=ab/c. EDC est donc un triangle isocèle de sommet C et . Le rectangle gris EDMN à l'intérieur du grand carré ABLO a donc une aire de -2ab cos γ. On vérifie bien que cette valeur est positive puisque cos γ est négatif, γ étant l'angle obtus. Le rectangle à gauche AEMO a la même aire que le carré de côté b ACHI et le rectangle à droite DBLN a la même aire que le carré de côté a BCFG. En effet toujours par les rapports de côtés on a : AE=b2/c et BD=a2/c. Donc l'aire du carré ABLO est bien égale à la somme des deux carrés ACHI et BCFG plus le rectangle gris : c2=a2+b2-2ab cos γ. Dans le cas d'un triangle acutangle la seule différence est que les deux triangles semblables se chevauchent donc il faut soustraire l'aire du rectangle gris égale à 2ab cos γ. On vérifie bien que cette valeur est positive puisque γ est un angle aigu.
En utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle
On considère le cercle de centre B et de rayon [BC] (cf. figure ci-contre). Il coupe la droite (AC) en C et K. La puissance du point A par rapport au dit cercle est :
d'où .
Contrairement aux précédentes, pour cette démonstration, il n'est pas nécessaire de recourir à une étude par cas. En effet, les mesures algébriques permettent de traiter pareillement un angle aigu et un angle obtus .
On trouve trace de l'utilisation de la puissance d'un point par rapport à un cercle pour déterminer tous les angles d'un triangle dont les longueurs sont connues, dans l'œuvre de Nicolas Copernic, Des révolutions des sphères célestes. Il présente ainsi deux algorithmes, l'un utilisant le théorème de Pythagore généralisé présent dans l'œuvre d'Euclide, l'autre utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle N. Copernic, De revolutionibus orbium coelestium, Livre I, chap. XII, § VII, et , respectivement..