En mathématiques, l'anneau des entiers de Q() est l'ensemble des nombres réels de la forme a + b(1+)/2, où a, b sont deux entiers relatifs, muni des opérations usuelles d'addition et de multiplication. C’est le plus petit ensemble de nombres qui contienne à la fois les entiers ordinaires et le nombre d'or φ = (1+)/2, et qui soit stable par addition et multiplication. On le note ici Z[φ].

En théorie algébrique des nombres, on le définit simplement comme l'anneau O des entiers du corps quadratique réel Q(). Cet anneau est euclidien. Il possède donc des propriétés arithmétiques analogues à celles des nombres entiers usuels : il est possible d’y définir une division euclidienne, de calculer le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux ou plusieurs nombres, d’y démontrer le lemme de Gauss, l'identité de Bézout et une version du théorème fondamental de l'arithmétique, garantissant l'existence de la décomposition de tout nombre en un produit de facteurs premiers. Une différence importante, cependant, est qu’il n’existe dans Z que deux éléments inversibles, 1 et –1, mais qu’il en existe une infinité dans Z[φ].

Cet anneau est souvent utilisé comme un des exemples privilégiés pour illustrer concrètement la théorie plus avancée des entiers dans les corps de nombres. Son arithmétique permet aussi de justifier plusieurs propriétés mathématiques du nombre d'or, et d’étudier certaines équations diophantiennes classiques, comme x + y = z, liée au dernier théorème de Fermat dans le cas de degré égal à 5 ou x – 5y = 1, un cas particulier de l'équation de Pell-Fermat.

Notations Dans cet article, on utilise des lettres grecques pour désigner des éléments de Z[φ], et l'on réserve les lettres latines pour désigner les entiers relatifs ou les nombres rationnels. La lettre ε est utilisée pour décrire une unité, c'est-à-dire un élément inversible de Z[φ].

Un élément α de Z[φ]Le terme « entier de Dirichlet » utilisé sur le blog de n'est pas standard, comme il le dit lui-même. En général, les nombres de Z[φ] n’ont pas de nom particulier., par définition, est donc un nombre (réel) qui peut s’écrire α = a + bφ, pour deux entiers relatifs a et b. Cette écriture est unique, et l'on appellera à l'occasion a et b les coordonnées de α.

Structure Dans cette section sont expliquées les opérations (addition, multiplication…) sur les nombres α = a + bφ, et les structures fournies par ces opérations. La démarche suivie est analogue à celle utilisée dans le cas des entiers de Gauss, qui sont des nombres de la forme a + b, où est un nombre complexe solution de l’équation x + 1 = 0, une équation quadratique. Ici φ est solution d’une autre équation quadratique, x – x – 1 = 0. Le polynôme X – X – 1 est appelé le polynôme minimal de φ.

Structure d'anneau

De φ = φ + 1, on déduit que : (par récurrence) toute puissance de φ appartient à Z[φ] — voir plus bas : § Suite de Fibonacci — donc toute fonction polynomiale de φ à coefficients entiers également ; le sous-ensemble Z[φ] du corps ℝ des nombres réels est donc le sous-anneau engendré par Z ∪ {φ} (ce qui rend légitime de le noter ainsi).

En tant que sous-anneau de ℝ, l'anneau Z[φ] est commutatif, intègre et totalement ordonné (donc de caractéristique nulle).

Une remarque sur Z[] On aurait pu imaginer (pour mieux imiter les entiers de Gauss, par exemple) d’étudier les nombres, apparemment plus simples, de la forme u + v , avec u et v des entiers. Ils forment l’ensemble noté Z[], qui est aussi un sous-anneau du corps des nombres réels (le nombre est solution de l’équation quadratique x – 5 = 0 et les mêmes raisonnements s’appliquent). Ce sous-anneau est inclus dans Z[φ] : en effet,

Cette inclusion de Z[] dans Z[φ] est stricte car d'après la formule ci-dessus, les seuls éléments a + bφ de Z[φ] qui appartiennent au sous-anneau Z[] sont ceux pour lesquels l'entier b est pair.

En fait, si les propriétés algébriques des deux ensembles sont analogues (ce sont des anneaux pour les mêmes opérations), Z[] est trop petit, comme on le verra, pour y faire confortablement de l’arithmétique. Comprendre quels étaient les bons ensembles de nombres à prendre en compte est une des difficultés rencontrées par les mathématiciens du .

Suite de Fibonacci

La « suite » (F) (indexée par ℤ) des entiers de Fibonacci, définie par

vérifie :

Le corps Q() L'ensemble des réels de la forme a + bφ avec a et b rationnels ou, ce qui revient au même, de la forme u + v avec u et v rationnels, est — de même que Z[φ] et Z[] étaient des sous-anneaux — une Q-sous-algèbre de ℝ. Puisque est irrationnel, l'écriture d'un élément de cet ensemble sous la forme u + v avec u et v rationnels est unique, ou encore : ce nombre n'est nul que si u = v = 0. Autrement dit : (1, ) est une base de ce Q-sous-espace vectoriel, et de même pour (1, φ). (Ceci généralise — donc justifie — l'unicité précédemment admise dans le cas de coordonnées entières.)

Cet ensemble est de plus stable par inverses car si u et v sont rationnels et non tous deux nuls alors u – 5v est un rationnel non nul et 1/(u + v ) = (u – v )/(u – 5v). Par conséquent, c'est non seulement un sous-anneau mais un sous-corps de ℝ. On le note Q().

Comme Q() est le plus petit sous-corps de ℝ contenant Q et (ou Q et φ), il s'identifie au corps des fractions de Z[] et de Z[φ]. On peut se demander comment, inversement, récupérer ces anneaux directement à partir de Q(). C’est la notion d'entier algébrique qui le permet — au moins pour Z[φ], qui va donc apparaître comme plus naturellement attaché à Q().

Comme Q() est un corps quadratique, tous ses éléments sont algébriques de degré 1 ou 2 : si α = u + v alors (α – u) – 5v = 0. L'élément α est entier si et seulement si les rationnels 2u et sont des entiers (relatifs). On en déduit (voir « Entier quadratique ») :

L'anneau Z[φ] est donc intégralement clos, si bien que Z[], qui a même corps des fractions mais est strictement plus petit, ne l'est pas. Par conséquent, Z[] n'est pas un anneau à PGCD (et a fortiori pas factoriel), contrairement à Z[φ] qui — voir plus bas — est même euclidien. En fait, Z[] ne vérifie même pas le lemme d'Euclide, c'est-à-dire qu'il possède des éléments irréductibles non premiers. Par exemple, 2 est irréductible dans Z[] (et même dans Z[φ] : cf. § « Détermination des éléments irréductibles de Z[φ] » plus bas). Cependant, dans Z[], 2 n'est pas premier : il divise le produit (1 + )(1 – ) = –2 mais ne divise aucun des deux facteurs. Ce problème disparaît dans Z[φ], qui contient et (1 – )/2 = 1 – φ. La définition des entiers, qui autorise ici le dénominateur 2, est donc ce qui leur garantit les meilleures propriétés. Plusieurs auteurs se penchèrent sur ces problèmes au cours du , mais c'est Richard Dedekind qui donna une présentation complète de la notion d'entier algébrique, dans les suppléments à son édition des cours de Dirichlet, en 1871 ()..

Le discriminant de Z[φ], égal à 5, est le plus petit discriminant d’un corps quadratique réel..

Deux outils importants

Deux des outils pour l'étude de l'anneau Z[φ] sont constitués de fonctions. Une de ces fonctions imite la conjugaison complexe pour les entiers de Gauss, l’autre fait office de mesure pour la taille d’un élément de Z[φ].

Application conjuguée La conjugaison σ dans Q() (intervertissant et son opposé) est un automorphisme (involutif) du corps Q() qui laisse stable Z[φ], en intervertissant φ et son élément conjugué φ' = (1 – )/2 = –1/φ = 1 – φ. Par restriction, on obtient ainsi :

Norme

Une fois encore, la situation est un peu analogue à celle des nombres complexes. Pour ceux-ci, l'application module est très utile : à un nombre, elle associe la racine carrée du produit de lui-même et de son conjugué. Comme, dans le cas qui nous intéresse, le produit correspondant n’est pas toujours positif, on évite en général de prendre la racine carrée et l'on définit plutôt :

C'est donc un rationnel, et même un entier relatif si α appartient à Z[φ]. Par exemple, la norme de est égale à –5 et la norme de φ est égale à –1.

La norme possède une propriété clé plus générale ( articles détaillés) :

Traduite dans la base (1, ), on retrouve le cas n = 5 de l'identité de Brahmagupta :

Division Dans Z[φ], une condition nécessaire pour qu’un nombre α divise un nombre γ est que N(α) divise N(γ). Par conséquent, le nombre β tel que αβ = γ n’appartient pas à Z[φ] dans le cas général.

Nombre inversible Pour qu’un nombre α ait un inverse, il faut donc que sa norme soit égale à 1 ou -1. Ces nombres sont donc tels que :

Ces équations ont des solutions entières lorsque ou sont des carrés. est une condition suffisante pour que α soit inversible, son inverse étant son conjugué (si ) ou l’opposé de son conjugué (si ).

Par exemple :

φ a pour inverse ; car et a pour inverse ; car et

Tout produit de nombres inversibles est lui-même inversible ; notamment, toute puissance de φ possède un inverse. L’ensemble des nombres inversibles de Z[φ] constitue un groupe commutatif pour la multiplication, appelé groupe des unités (cf section suivante).

Division euclidienne

La norme permet de définir une division euclidienne. Cette norme n'est pas toujours positive. Le stathme v, c’est-à-dire la fonction permettant d’évaluer le reste de la division — de même que la valeur absolue dans le cas des entiers relatifs — ne doit prendre que des valeurs positives. Pour cette raison, on le choisit égal à la valeur absolue de la norme. On montre alors que 5 fait partie, comme –1, des 21 valeurs de d pour lesquelles l'anneau des entiers de Q() est euclidien pour v :

Il suffit ( fin du § « Définitions » de l'article sur anneaux euclidiens) de vérifier le critère général suivant : pour tout élément ζ de Q(), il existe au moins un élément θ de Z[φ] tel que

Pour tous réels x, y majorés en valeur absolue par 1/2, |x + xy – y| < 1. Donc si ζ = a + bφ avec a et b rationnels, en choisissant des entiers c et d tels que |a – c| ≤ 1/2 et |b – d| ≤ 1/2 puis en posant θ = c + dφ, on a bien |N(ζ – θ)| < 1.

Ceci montre qu'il existe une division euclidienne dans l'anneau Z[φ]. Elle possède un aspect un peu déroutant, au sens où il n’y a pas d’unicité stricte, comme dans le cas usuel. Le nombre des possibilités est en effet lié au groupe des unités. Cette situation n’est en fait pas très différente de celle des entiers relatifs où la division euclidienne n’est définie qu’au signe près, c’est-à-dire à une unité près.

Groupe des unités

Les unités d'un anneau commutatif comme Z[φ] sont ses éléments inversibles et forment un groupe (commutatif) pour la multiplication, contenant 1 et –1. L'anneau Z ne possède que ces deux unités. Par contre, un anneau d'entiers d'un corps quadratique réel, comme Z[φ], possède toujours une infinité d'unités, ce qui se vérifie facilement dans le cas particulier envisagé, § 14.4 et § 15.4.. Les unités ne sont pas traitables avec les outils classiques de l'arithmétique ; les notions fondamentales, la définition de nombre premier ou irréductible, la décomposition en facteurs irréductibles sont données au produit par une unité près, d'où l'utilité de décrire celles-ci. On appelle « associés » deux éléments de l'anneau se déduisant l'un de l'autre par multiplication par une unité.

L'étude générale du groupe des unités d'un corps quadratique montre que : Le groupe des unités de Z[φ] est composé des éléments de norme égale à ±1. Les unités de Z[φ] sont les φ et –φ, n ∈ Z, § 15.4. La démonstration est détaillée pour montrer un résultat équivalent sur Q() § 14.6, ..

Nombre premier ou irréductible Un nombre de Z[φ] est dit premier ou irréductible si toute décomposition du nombre en deux facteurs de Z[φ] comprend un et un seul élément du groupe des unités.

Nota : si α est inversible d’inverse ᾱ, tout nombre γ peut toujours s’écrire : γ = αᾱγ = αβ, en posant β = ᾱγ

Un nombre de Z[φ] dont la valeur absolue de la norme est un nombre premier est premier ou irréductible.

Exemples : est irréductible car N() = -5