vignette|droite|Thomas Stieltjes (1856-1894). L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, on considère deux fonctions réelles bornées et définies sur un intervalle fermé , ainsi qu'une subdivision de cet intervalle. Si la somme de Riemann

avec , tend vers une limite lorsque le pas tend vers 0 (Def. 7.1 et Note), donne une autre définition : pour tout réel , il existe une subdivision de telle que pour tout raffinement de et tout marquage de , , et souligne qu'elle n'est pas équivalente à celle donnée ici. Son contre-exemple (p. 174, exercice 7.3.b) est , ., alors est appelée l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes.) de la fonction par rapport à . On la note

ou simplement .

Propriétés

L'intégrale de Stieltjes est linéaire :

Si les fonctions et possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas.

Cependant, si est continue et à variation bornée, cette intégrale est bien définie... Elle l'est également si est seulement Riemann-intégrable mais est absolument continue, et elle coïncide alors avec l'intégrale de au sens de Lebesgue. (ou de Riemann si de plus est Riemann-intégrable) :

De plus, dans ces conditions suffisantes d'existence, et sont interchangeables. En effet :

On a ainsi que si est Stieltjes-intégrable, on a :

La première formule se démontre comme dans le cas où est continûment dérivable. La deuxième s'en déduit grâce au théorème d'intégration par parties. Un corollaire de cette deuxième formule est : si est intégrable sur et si est monotone, il existe un tel que

Si est non seulement monotone mais décroissante positive, on peut la rendre nulle en avant de lui appliquer ce corollaire (cela ne change pas la valeur de ).

Exemples et cas spéciaux Intégrale de Riemann L'intégrale de Riemann classique est une intégrale de Riemann-Stieltjes avec .

Fonction de Heaviside Si g(x) est la fonction de Heaviside . Alors l'intégrale de Stieltjes pour vaut

Redresseur On considère la fonction }, utilisée dans l'étude des réseaux neuronaux, appelée Unité Linéaire Rectifiée (ReLU). Alors l'intégrale de Riemann–Stieltjes pour vaut

où l'intégrale du terme de droite est l'intégrale de Riemann classique.

Cas où est une fonction constante par morceaux croissante finie On considère une subdivision finie de l'intervalle , soit , et une suite de valeurs réelles , de sorte que : . Ainsi, sur tout l'intervalle, est constante par morceaux et croissante en tout point. Alors dans ce cas, on a : . Cette définition peut être étendue afin d'exprimer des séries convergentes comme des intégrales de Stieltjes.

Cas où est dérivable Si est dérivable et de dérivée continue sur , on peut démontrer que , où l'intégrale du terme de droite est l'intégrale de Riemann usuelle, en supposant que admet une intégrale de Riemann-Stieltjes.

Plus précisément, il y a égalité entre l'intégrale de Riemann et celle de Riemann-Stieltjes si est l'intégrale de Lebesgue de sa dérivée (donc si est absolument continue). Il est possible que soit discontinue ou de dérivée nulle presque partout, auquel cas l'intégrale de Riemann-Stieltjes n'est pas calculable en utilisant l'expression de la dérivée de .

Application à la théorie de probabilités

Si est la fonction de répartition de la loi d'une variable aléatoire qui admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue, et est une fonction quelconque d'espérance finie, alors la fonction de densité de est la dérivée de et on a :

Cependant, cette égalité n'est pas vérifiée si n'admet par de densité Lebesgue-intégrable, ce qui est le cas pour toute variable suivant une loi discrète (auquel cas la densité est une somme pondérée de distributions de Dirac), ou si est continue mais pas absolument continue (comme la fonction de Cantor). Toutefois, l'identité

est vraie pour toute fonction réelle représentant une fonction de répartition, peu importe ses propriétés. En particulier, peu importe les propriétés de la fonction de répartition d'une variable aléatoire , si le moment existe, alors il vaut

Notes et références

Voir aussi Articles connexes Intégrale de Lebesgue Intégration de Lebesgue-Stieltjes Intégrale de Kurzweil-Henstock Intégrale d'Itō Formule sommatoire d'Abel

Bibliographie

Liens externes

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