vignette|Exemple de suite : les points bleus représentent ses termes. En mathématiques, une suite est une liste d'éléments. Un élément peut y apparaître plusieurs fois et l'ordre des éléments est important. Dit autrement, une suite est une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite.
En particulier, on parle de suite numérique, suite entière, suite réelle, suite complexe quand les termes sont des nombres, des entiers, des nombres réels, des nombres complexes, respectivement. En informatique, plus précisément en théorie des langages, un mot désigne une suite de lettres.
Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble , cette suite peut être assimilée à une application de dans . On note classiquement une suite , ou en abrégé : .
Premiers exemples Voici quelques exemples de suites finies :
(0, 1, 0, 0, 2) est une suite de cinq nombres entiers (M, a, r, i, e) qui est la suite des lettres M, a, r, i, e et qui forment le mot Marie. De manière générale, un mot fini est une suite finie de caractères.
Voici quelques exemples de suites infinies :
(0, 1, 2, 3, ...) est la suite infinie des entiers positifs ; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...) est la suite infinie des nombres premiers ; (0, 1, 4, 9, 16, 25, ...) est la suite infinie des nombres qui sont des carrés des nombres entiers.
Fragments d'histoire
Les suites numériques sont liées aux mathématiques de la mesure (mesures d'un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) et à l'analyse (une suite numérique est l'équivalent discret d'une fonction numérique). La notion de suite est présente dès qu'apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve, par exemple, chez Archimède, spécialiste des procédés illimités d'approximation (séries géométriques de raison 1/4) pour des calculs d'aires et de volumes, ou en Égypte vers 1700 et plus récemment au dans le procédé d'extraction d'une racine carrée par la méthode de Héron d'Alexandrie : Pour extraire la racine carrée de , choisir un nombre arbitraire strictement positif et prendre la moyenne entre et et recommencer aussi loin que l'on veut le processus précédent. En notation moderne, cela définit la suite de nombres telle que et, pour tout entier , .
On retrouve ensuite cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir du ) avec la méthode des indivisibles (Cavalieri, Torricelli, Pascal, Roberval). Dans l'Encyclopédie Raisonnée de d'Alembert et Diderot (1751), une grande part est laissée aux suites et séries dont le principal intérêt semble être leur convergenceToutefois, Euler et ses successeurs montreront qu'il est possible d'utiliser également des suites et surtout des séries divergentes ; voir « Série divergente » pour plus de détails. : Série ou suite, en Algebre, se dit d'un ordre ou d'une progression de quantités qui croissent ou décroissent suivant quelques lois. Lorsque la suite va toujours en s'approchant de plus en plus de quelque quantité finie […] on l'appelle suite convergente et si on la continue à l'infini, elle devient égale à cette quantité. […] Ainsi 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, etc. forment une suite qui s'approche toujours de la quantité 1, & qui lui devient enfin égale, quand cette suite est continuée à l’infini.<ref>Jean Le Rond d'Alembert, article Série ou suite dans le volume XV de lEncyclopédie, p. 93b-96a lire en ligne</ref>Suite est ici synonyme de série, il s'agit ici de convergence de la série associée à ce que nous appelons aujourd'hui suite. C'est ainsi que l'on voit Bernoulli, Newton, Moivre, Stirling et Wallis, s'intéresser aux suites pour approcher des valeurs numériques. C'est à Lagrange que l'on doit, semble-t-il, la notation indicielle. L'étude des suites ouvre la porte à celle des séries entières dont le but est d'approcher, non plus des nombres, mais des fonctions. Dans la seconde moitié du , le développement des calculateurs et des ordinateurs donne un second souffle à l'étude des suites en analyse numérique grâce à la méthode des éléments finis. On en retrouve l'usage aussi dans les mathématiques financières8- Application des séries géométriques aux mathématiques financières dans , p. 12.
Parallèlement à ces études de suites pour leur convergence, se développe un certain goût pour l'étude de la suite non tant pour sa convergence mais pour son terme général. C'est le cas par exemple d'un grand nombre de suites d'entiers comme la suite de Fibonacci, celle de Lucas ou, plus récemment, celle de Syracuse. Sont aussi particulièrement étudiées les suites de coefficients dans des séries entières ou les suites de nombres découvertes lors de dénombrements.
Notations L'ensemble des suites d'éléments de indexées par une partie de se note ou .
Soit une partie de . Soit une suite d'éléments de . On note l'image de l'entier par . Ainsi, les images de sont notées .
On dit que est le terme de rang , ou d'indice de la suite .
On note en général la suite : qui est donc une application. Lorsque , on note plus simplement la suite : . Si , on peut noter la suite ou encore .
L'ensemble des valeurs prises par la suite est , l'image directe de la suite vue comme application. Par exemple, l'ensemble des valeurs prises par la suite est .
Exemples
La suite nulle est la suite dont tous les termes sont nuls : .
Plus généralement, si est une suite et que , alors on dit que est une suite « presque nulle », ou « nulle à partir d'un certain rang ».
Pour des raisons de commodité, pour tout élément de on peut identifier et la suite :
Posons ; est la suite des inverses des nombres entiers. Celle-ci peut être représentée par : .
Terme général et récurrence Une suite étant une application de A (partie de ) dans E, il est intéressant, voire primordial, de connaître l'image de n pour tout n de A. Si est donné comme expression de n et permet un calcul direct du nombre, on dit que l'on connait le terme général de .
Cependant, si , la nature de l'ensemble de départ permet de définir la suite par une relation de récurrence : le terme d'indice n est donné comme fonction de n et des termes d'indices k, k ≤ n. Le principe de définition par récurrence permet d'affirmer qu'il suffit alors de donner pour en déduire tous les termes (la suite est bien définie). En pratique, la détermination de va nécessiter le calcul de tous les termes de à . En programmation, cette récurrence a donné lieu à la création des fonctions récursives. Une partie de la recherche sur les suites va consister à déterminer le terme général d'une suite connaissant sa relation de récurrence.
Exemple La suite définie par et, pour tout entier n, est la suite des factorielles : .
Somme des termes d'une suite
Si est un groupe additif, on note : ou la somme : Exemples de suites
Suite arithmétique
C'est une suite à valeurs dans un groupe additif, définie par récurrence par : .
où est une constante. Son terme général est alors :
Suite géométrique
C'est une suite à valeurs dans un monoïde, définie par récurrence par :
où est une constante. Son terme général est alors :
Suites arithmético-géométriques
C'est une suite à valeurs dans un corps commutatifOu, plus généralement, dans un anneau commutatif., définie par récurrence par : Si , la suite est une suite arithmétique. Si Ou, plus généralement, si est inversible., son terme général est alors :
La démonstration consiste à définir une suite géométrique telle que , étant appelé le point fixe. Comme l'expression doit être nulle pour que la suite soit géométrique alors d'où la formule..
Suites récurrentes linéaires à coefficients constants
Une suite récurrente linéaire est définie par une relation de récurrence :
où , , … sont scalaires ().
L'entier p est appelé l’ordre de la récurrence. Les suites à récurrence linéaire d’ordre 1 sont les suites géométriques ; une suite récurrente linéaire d’ordre 2 célèbre est la suite de Fibonacci. L’étude des suites récurrentes linéaires d’ordre p fait appel à la notion d’espace vectoriel et au calcul matriciel, et on dispose de méthodes permettant le calcul du terme général de n'importe quelle suite de ce type.
Quelques suites notoires C'est dans l'univers des suites d'entiers que l'on trouve les suites les plus célèbres : la suite de Fibonacci où chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dont on connaît le terme général et sa relation avec le nombre d'or ; la suite de Conway, où chaque terme est la description à voix haute du terme précédent ; la suite de Syracuse ou de Collatz définie par une relation de récurrence simple : le terme suivant est obtenu en prenant, ou bien la moitié du terme précédent si celui-ci est pair, ou bien le triple du terme précédent augmenté de 1 si celui-ci est impair. Les mathématiciens ne sont pas encore, en 2025, capables de la modéliser à l'aide d'une fonction ou encore de déterminer si le nombre 1 y apparaît au moins une fois, peu importe le terme initial.
Limite d'une suite
Suite convergente La définition de limite d'une suite est classique en topologie. La convergence des suites dans ou dans est un cas particulier de cette définition : elle se formule à l'aide de la distance (sur laquelle la topologie de ces espaces est construite).
Intuitivement, une suite possède une (valeur) limite si ses points se rapprochent toujours plus de cette limite lorsque l'indice augmente indéfiniment.
Définition générale
Soient un espace topologique et une suite à valeurs dans . On dit qu'un élément de est une limite de la suite si pour tout ouvert contenant , il existe tel que .
Suite réelle convergente
On dit qu'une suite réelle converge vers lorsque pour tout , il existe tel que pour tout entier : . On dit alors que tend vers , et on le note : .
Suite complexe convergente
La définition dans ℝ s'applique dans ℂ en remplaçant la valeur absolue par le module.
Limites infinies
Pour les suites réelles, on élargit le champ des limites possibles aux deux limites infinies et :
Propriétés Les propriétés sur les limites : unicité opération complétude vont dépendre de l'espace sur lequel on travaille et sont détaillées dans l'article « Limite d'une suite ».
Suites réelles et relation d'ordre
Suites monotones Définition Une suite réelle monotone est une fonction monotone (c'est-à-dire croissante ou décroissante) de ℕ dans ℝ. De même, une suite réelle est dite strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Propriétés On démontre qu'une suite réelle est : croissante si (et seulement si) ; strictement croissante si (et seulement si) ; décroissante si (et seulement si) ; strictement décroissante si (et seulement si) .
Exemples La suite définie par est strictement croissante. En effet,
Critères de monotonie
Limites de suites monotones Suite monotone bornée
D'après le théorème de la limite monotone :
Si une suite réelle est croissante ( décroissante) et majorée par ( minorée par ), alors elle est convergente et ( ).
De cette propriété, découle la remarque suivante :
Soient et deux suites réelles. Si : est croissante ; est décroissante ;
alors : et sont convergentes et .
Suite monotone non bornée
Encore d'après le théorème de la limite monotone :
Si une suite réelle est croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. non minorée), alors elle tend vers (resp. ).
Suites adjacentes
Deux suites réelles et sont dites adjacentes lorsque : l'une est croissante ; l'autre est décroissante ; la suite converge vers .
L'intérêt des suites adjacentes est qu'elles permettent d'une part de prouver l'existence d'une limite, d'autre part de fournir un encadrement de celle-ci aussi fin qu'on le souhaite. Ceci grâce aux deux propriétés suivantes :