En mathématiques, il existe deux notions de représentations adjointes : la représentation adjointe d'un groupe de Lie sur son algèbre de Lie, la représentation adjointe d'une algèbre de Lie sur elle-même. Alors que la première est une représentation de groupe, la seconde est une représentation d'algèbre.
Définition
Soient : , un groupe de Lie ; , l'élément identité de ; , l'algèbre de Lie de ; l'automorphisme intérieur de sur lui-même, donné par .
Définition : La représentation adjointe du groupe de Lie sur son algèbre de Lie est : . où est la dérivée de en
Remarques : la représentation adjointe est un morphisme de groupes : ; pour tout , la représentation adjointe de est un isomorphisme d'algèbres : .
Définition : La représentation adjointe de l'algèbre de Lie sur elle-même est : .
Remarques : la structure d'algèbre sur l'espace tangent peut être définie à partir de la représentation adjointe via : ; puisque le crochet de Lie satisfait l'identité de Jacobi, la représentation adjointe est un morphisme d'algèbres : .
Lorsque G est un groupe matriciel
Supposons que est un groupe de Lie matriciel, ou , de sorte que son algèbre de Lie soit aussi matriciel, ou . Alors, les deux représentations adjointes sont explicitement :
où est ici le commutateur de matrices.
Relation avec la forme de Killing
La forme de Killing est définie par : . La forme de Killing est -invariante : . Ainsi, elle vérifie de plus : .
Régularité de la représentation adjointe
Si est un groupe de Lie de classe , l'application adjointe est différentiable. En effet, il suffit de démontrer que l'application d'évaluation est différentiable. Mais par définition de , c'est la différentielle en la seconde variable en l'élément neutre de . En toute généralité, il y a une perte de régularité pour la représentation adjointe.
Livre et , Foundations of Differential Geometry, 1963
Adjointe