En mathématiques, l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini est un cas particulier de l'analyse harmonique, lorsque l'on travaille sur un groupe abélien fini. Une des motivations de cette théorie est de discrétiser la théorie des séries de Fourier. En effet, la théorie de Fourier peut être vue comme l'analyse de Fourier du cercle unité, qu'il est naturel de discrétiser par les groupes cycliques ℤ/nℤ. On retrouve alors la transformation de Fourier discrète.
Par analogie avec l'analyse harmonique réelle, on peut définir sur un groupe abélien fini un produit de convolution ainsi qu'une transformation de Fourier. On retrouve alors l'analogue de nombreux résultats classiques, comme le théorème de Plancherel, l'égalité de Parseval ou la formule sommatoire de Poisson.
Contrairement à l'analyse de Fourier sur des groupes plus généraux, la théorie est souvent présentée comme plus simple dans le cas des groupes abéliens finis, car le groupe dual est toujours isomorphe au groupe d'origine. En outre, les questions délicates de convergence et de régularité sont absentes, puisque la transformation de Fourier se limite à une somme finie et que la topologie sous-jacente à un groupe fini est la topologie discrète.
L'analyse harmonique sur un groupe abélien fini possède de nombreuses applications en mathématiques, notamment en arithmétique modulaire (loi de réciprocité quadratique, fonction L de Dirichlet, représentations linéaires des groupes abéliens finis), en théorie de l'information (plus particulièrement dans l'étude des codes correcteurs), ainsi qu'en théorie des graphes. Hors des mathématiques, l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini est utilisée en physique et en chimie, notamment en physique statistique (étude des urnes d'Ehrenfest), en mécanique (analyse harmonique de systèmes oscillants) et en chimie organique (stabilité des hydrocarbures aromatiques).
Structure de l'espace L2(G) Dans tout cet article, désigne un groupe abélien d'ordre , noté additivement.
Algèbre complexe du groupe G
L'ensemble des applications de dans est un espace vectoriel complexe de dimension , de base canonique , où désigne la fonction indicatrice associé au singleton . Dans cette base, une application se décompose
L'espace est en outre une -algèbre hermitienne, munie du produit hermitien défini par
pour lequel la base est une base orthonormée, et muni du produit de convolution , défini par
. Pour ce produit interne, on dispose d'une injection canonique de groupes donnée par , c'est-à-dire que. Munie de cette structure, on appelle l'algèbre du groupe fini , et on la note plutôt .
Groupe dual
Le groupe dual de , généralement noté , est l'ensemble des caractères de , c'est-à-dire l'ensemble des morphismes de groupes de dans le groupe multiplicatif . Il est à noter que puisque tous les éléments du groupe fini sont d'ordre fini, l'image d'un caractère de est nécessairement incluse dans le cercle unité complexe.
Lorsque est le groupe cyclique , le dual de est égal à l'ensemble des caractères définis pour par ,et l'application induit donc une bijection entre et son dual. À noter que l'on dispose également des bijections , où est n'importe quel générateur de .
En général, muni du produit issu de celui des nombres complexes, l'ensemble est un groupe (non canoniquement) isomorphe à . Ceci se vérifie pour les groupes cycliques en fixant un générateur (d'où le caractère non canonique de l'isomorphisme), puis s'étend aux groupes abéliens finis quelconques grâce au théorème de structure des groupes abéliens finis. Tout groupe abélien fini est cependant canoniquement isomorphe à son bidual (le dual de son dual). Cette propriété se généralise aux groupes abéliens localement compacts sous le nom de dualité de Pontryagin.
Mesure de Haar
Sur un groupe abélien localement compact , on dispose en général d'une mesure borélienne invariante par la loi du groupe (unique à un scalaire près), appelée mesure de Haar. Cette mesure définit des espaces sur , et comme tout espace , l'espace est naturellement muni d'un produit hermitien donné par
où désigne ici une mesure de Haar sur .
Dans le cas où est un groupe abélien fini, la situation est élémentaire. La topologie dont est muni étant la topologie discrète, la mesure de Haar coïncide avec la mesure de comptage (et ses multiples par un scalaire). Puisque est fini, l'espace est égal à l'ensemble des fonctions sur à valeurs complexes, et son produit hermitien coïncide (après renormalisation de la mesure de comptage par pour en faire une mesure de probabilité) au produit hermitien défini plus haut sur .
Égalité de Bessel-Parseval Tout élément se décompose sur la base orthonormée sous la forme.Le cas d'égalité de l'inégalité de Bessel dans un espace hermitien montre alors que.
Transformation de Fourier d'un groupe abélien fini
Définition Par analogie avec l'analyse harmonique réelle, on peut définir sur l'espace une transformation de Fourier, en suivant le principe de la dualité de Pontryagin. La transformée de Fourier d'un élément comme l'élément de défini par. Ceci définit une application linéaire, la transformation de Fourier . Il est à noter que contrairement à la transformation de Fourier usuelle, on peut ici directement la définir sur l'espace et le théorème de Plancherel est trivialement vérifié, puisque les ensembles sous-jacents à et sont égaux.
Cas des groupes cycliques
Dans le cas où est le groupe cyclique , en utilisant l'isomorphisme entre et son dual, la transformée de Fourier de est donnée par et correspond à la transformation de Fourier discrète.
Exemples
Pour tout , la transformation de Fourier de l'indicatrice est donnée par ,c'est-à-dire le conjugué complexe de l'évaluation en sur , qui est le caractère correspondant à l'élément sous l'identification entre et son bidual . Pour un caractère ,,et donc la transformation de Fourier du caractère est à un multiple près égale à l'indicatrice de ce caractère. La transformée de Fourier de l'application constante égale à (qui n'est autre que le caractère trivial) vaut donc sur le caractère trivial et zéro partout ailleurs. Si est un sous-groupe de et si désigne la fonction indicatrice de , alors la transformée de Fourier de est donnée par,et cette dernière somme vaut si le caractère est trivial sur et zéro sinon. En d'autre termes, , où désigne l'orthogonal, au sens de Pontryagin, du groupe .
Analogie avec la transformation de Fourier réelle et les séries de Fourier Comme pour la dualité de Pontryagin, l'analogie avec la transformation de Fourier usuelle est expliquée par l'étude des caractères continus de , vu comme un groupe topologique abélien localement compact. Le groupe est isomorphe à son dual, via l'isomorphisme de dans , avec . Si l'on note la mesure de Lebesgue, la transformée de Fourier d'une fonction est définie par.De même, on peut faire l'analogie avec les séries de Fourier, que l'on interprète comme les transformations de Fourier des groupe abéliens duaux et (dont le premier est compact et l'autre discret). Les caractères de sont induits par les caractères -périodiques de , c'est-à-dire les caractères pour . On obtient donc un isomorphisme de dans . En considérant la mesure induite par la mesure de Lebesgue sur , la transformée de Fourier de est donnée par , ce qui correspond aux coefficients de Fourier de . En appliquant la transformation de Fourier du groupe discret (dont le dual est isomorphe au bidual de et donc à ), pour la mesure de comptage, on retrouve à une symétrie près la série de Fourier associée à ,.
Propriétés de la transformation de Fourier En interprétant l'algèbre de groupe comme l'espace pour la mesure de Haar, dont une base orthonormée est donnée par l'ensemble caractères, on retrouve les résultats classiques des séries de Fourier et de la transformation de Fourier réelle.
Produit de convolution Le choix ci-dessus de multiplier par dans la définition de la transformation de Fourier assure sa compatibilité avec le produit de convolution , sans constante additionnelle.
Inversion de Fourier et égalité de Parseval Sur un groupe abélien localement compact, la transformation de Fourier est un isomorphisme d'espaces hermitiens, de réciproque un multiple de la transformation de Fourier duale , où l'on a identifié canoniquement et . En choisissant bien la mesure de Haar sur (qui est unique à un scalaire complexe près), on peut alors faire en sorte d'obtenir Dans le cas des groupes abéliens finis, on choisit pour ce faire de munir du produit hermitien , et on remarquera que ce produit hermitien correspond à la mesure de Haar sur de masse totale , alors que celui introduit pour définir correspondait à la mesure de Haar sur de masse totale . On notera cependant toujours l'espace muni du produit hermitien défini ci-dessus. Pour cette normalisation, on obtient l'inversion de Fourier annoncée.Comme pour tout isomorphisme d'espaces hermitiens, la transformée de Fourier vérifie l'égalité de Parseval,
Orthogonal d'un sous-groupe Soit un morphisme de groupes abéliens finis. Ce morphisme induit un morphisme dual défini par,et si est injectif (resp. surjectif), alors est surjectif (resp. injectif).
Soit maintenant un sous-groupe de . Nous appellerons groupe orthogonal de , et noterons , le sous-groupe de constitué des caractères dont le noyau contient , c'est-à-dire des caractères qui valent identiquement sur .
D'après les théorèmes d'isomorphisme, est isomorphe au dual du groupe quotient . En effet, tout caractère trivial sur induit un caractère de et réciproquement. Le groupe est donc l'image de l'inclusion induite par la projection canonique . En particulier, est un sous-groupe de d'ordre . Le groupe quotient est isomorphe à , puisque est égal au noyau du morphisme de restriction , qui est surjectif car induit par l'inclusion .
Les deux énoncés ci-dessus peuvent également se déduire de l'exactitude de la suite ,due à l'injectivité du groupe divisible ℂ*.
Formule sommatoire de Poisson En lien avec le groupe orthogonal d'un sous-groupe de , la transformation de Fourier vérifie la formule sommatoire de Poisson, qui relie usuellement la transformation de Fourier d'un groupe discret avec celle de son dual, qui est nécessairement compact.
Principe d'incertitude La transformation de Fourier des groupes abéliens finis vérifie le principe d'incertitude, qui énonce grossièrement qu'une fonction et sa transformée de Fourier ne peuvent pas simultanément avoir des supports (ou plutôt des masses) très concentrés. En mécanique quantique, ceci s'interprète par l'impossibilité de déterminer précisément à la fois la position et la vitesse d'une particule.
Pour les groupes abéliens finis, l'espace étant discret, il existe plusieurs versions possibles du principe d'incertitude. La plus élémentaire énonce que les supports d'une fonction et de sa transformée de Fourier ne peuvent pas simultanément être de petit cardinal. Plus précisément, on aLe cas d'égalité de cette inégalité est atteint pour les indicatrices des éléments de . En effet, pour , on a est le caractère de , et donc est égal à . Plus généralement, si est un des sous-groupe de , alors l'égalité est atteinte pour l'indicatrice dont la transformée de Fourier est donnée par l'indicatrice de (qui est isomorphe à ).
Applications
Discrétisation de la transformation de Fourier