La géométrie symplectique est un domaine de la recherche mathématique, s'intéressant à l'origine à une formulation mathématique naturelle de la mécanique classique et développé avec une notion d'entrelacement entre la géométrie différentielle et les systèmes dynamiques, avec des applications en géométrie algébrique, en géométrie riemannienne et en géométrie de contact.
Formellement, elle consiste en l'étude des 2 formes différentielles fermées non dégénérées — appelées formes symplectiques — sur les variétés différentielles..
Histoire Étymologie L'adjectif symplectique fut introduit par Hermann Weyl (1885 – 1955) pour désigner le groupe symplectique , le groupe des automorphismes linéaires réels de conjuguant la multiplication par i à elle-même. Ce groupe était appelé « groupe du linéaire complexe » et une confusion était possible avec le groupe des automorphismes linéaires complexes. Hermann Weyl justifie son choix :
Plus exactement, l'adjectif « symplectique » est fondé sur la racine grecque , équivalent de la racine latine de complexus. La racine latine a donné le nom de complexité d'où dérive « nombre complexe », ce nom latin traduit l'idée d'entrelacement. En histoire naturelle, l'adjectif symplectique désigne « être entrelacé avec un autre corps ».
Par extension, l'adjectif symplectique a été utilisé dans l'appellation de formes symplectiques et de variétés symplectiques.
Histoire du concept de structure symplectique Le concept de structure symplectique est bien antérieur à l'introduction de la terminologie actuelle. Il émerge dans les années 1808 à 1810 dans les travaux de Joseph-Louis Lagrange et de son élève Siméon Denis Poisson sur la trajectoire des planètesCharles-Michel Marle, Géométrie symplectique et géométrie de Poisson (2018), Calvage & Mounet , préface. Ils entreprennent d'expliquer la variation lente des paramètres orbitaux des planètes du système solaire en tenant compte des interactions mutuelles de ces corps. En utilisant la terminologie actuelle, ils introduisent à cette occasion la forme symplectique associée à la variété décrivant les états du système et une opération fondamentale sur les fonctions : le crochet de Poisson.
Motivations Mécanique classique et formalisme hamiltonien Le cadre de la géométrie symplectique a permis de porter un nouveau regard sur la mécanique classique. Elle permet l'étude du comportement global d'un système mécanique, en traitant les symétries et les conséquences, et aborde des questions qualitatives associées comme l'existence de trajectoires périodiques ou le caractère chaotique ou stable d'une évolution.
En mécanique, la position d'un ensemble de points matériels ou plus généralement d'un objet en mouvement est traditionnellement repérée par un certain nombre de coordonnées curvilignes . Le nombre est appelé nombre de degrés de liberté du système. Par exemple, un pendule astreint à rester dans un plan est repéré par un seul paramètre , à savoir l'angle que fait sa tige avec la verticale définie par le champ de gravité. Les positions occupées par deux masses ponctuelles en interaction (par exemple une planète et une étoile) sont repérées par six paramètres, trois pour chaque masse. L'ensemble des différentes valeurs que les coordonnées peuvent prendre dans toutes les positions possibles du système est appelé espace de configuration. Les lois de Newton de la mécanique affirment (entre autres choses) qu'un système mécanique évolue d'une façon déterministe qui peut être prévue si on connait la position et la vitesse d'un point à l'instant initial.
vignette|Espace des phases du pendule simple. Pour prendre en compte les vitesses, il est nécessaire d'ajouter aux coordonnées de position de nouvelles variables . Dans le premier exemple, serait la vitesse angulaire du pendule et dans le deuxième, on aurait les composantes de la vitesse des deux planètes. L'ensemble des valeurs que peuvent prendre les différents paramètres est appelé espace des phases du système. Les trajectoires du système se tracent dans cet espace.
Bien sûr, il n'est en général pas possible de calculer toutes les trajectoires possibles et même un tel calcul ne donne pas forcément une bonne idée globale du comportement du système. Pour comprendre ce comportement, on peut essayer de suivre le déplacement d'un sous-ensemble de l'espace des phases ; on a alors accès à des informations globales et qualitatives.
Dans toute la suite, on suppose que le système évolue en suivant les lois de la mécanique de Newton pour des forces dérivant d'un potentiel (ce qui signifie en simplifiant qu'il n'y a pas de frottements).
On peut se demander quel type de géométrie est adapté à cette étude des trajectoires dans l'espace des phases. La géométrie euclidienne est la plus familière mais elle n'est pas adaptée car les droites ne sont pas conservées lors de l'évolution d'un système mécanique. Ainsi, dans l'exemple du pendule simple, on constate que si l'on part de configurations alignées, cette propriété se perd. Pire, un segment de droite n'est même pas envoyé sur une courbe de même longueur.
Théorème de Liouville Le théorème de Liouville affirme que lorsqu'un système mécanique évolue, le volume de toute partie de l'espace des phases est préservé. Voici comment on définit le volume d'une partie de l'espace des phases qui est de dimension . Si la partie est définie par les conditions :
alors le volume est
Dans le cas où on retrouve la définition de l'aire d'un rectangle. Si la partie dont on veut calculer le volume est plus compliquée, on la découpe en un très grand nombre de parties telles que plus haut et on fait la somme des volumes. Lorsque le nombre de rectangle tend vers l'infini et que leur réunion tend vers la partie initiale on trouve le volume.
Ainsi dans le cas du pendule simple, on a conservation de l'aire de toute partie de l'espace des phases que l'on suit lors de l'évolution du système.
Le théorème de Liouville affirme que l'évolution d'un système mécanique préserve le volume dans l'espace des phases.
On peut donc penser que la structure géométrique de l'espace des phases est celle du volume des objets mais on va voir dans le paragraphe suivant qu'il existe une géométrie plus subtile.
Théorème de Poincaré Le théorème de Poincaré est un raffinement du théorème de Liouville. Pour l'énoncer il faut introduire quelques notations. Pour tout compris entre 1 et , on note la projection de l'espace des phases sur le plan des . C'est donc la fonction qui à associe .
Le théorème de Poincaré affirme que pour toute surface dans l'espace des phases, la somme des aires des projections est conservée par l'évolution du système.
Une structure symplectique sur un ensemble est un mécanisme d'attribution d'un nombre à toute surface dans l'ensemble et qui vérifie certaines conditions sur lesquelles on reviendra plus loin. Le fait d'associer à chaque surface de l'espace des phases la somme des aires de ses projections est un exemple de telle structure qu'on appelle structure symplectique canonique de l'espace des phases.
Le théorème de Poincaré affirme donc que l'évolution d'un système mécanique préserve la structure symplectique canonique de l'espace des phases.
On peut montrer que le théorème de Poincaré implique celui de Liouville.
Théorème de non-plongement de Gromov
Pendant très longtemps, personne n'a su si le théorème de Poincaré permettait d'avoir vraiment plus d'informations sur l'évolution des formes dans l'espace des phases que le théorème de Liouville. Enfin, en 1985, Mikhaïl Gromov a démontré le théorème suivant : pour tout système mécanique à degrés de liberté, la boule : ne peut jamais évoluer en un ensemble dont tous les points vérifient : pour un strictement plus petit que 1.
Or une telle évolution serait possible si seul le théorème de Liouville était vrai et pas le théorème de Poincaré. Ce théorème de Gromov est un théorème difficile et qui a de nombreuses conséquences, il a révolutionné le domaine de la géométrie symplectique.
Symétries en mécanique Le deuxième argument confortant l'idée que la géométrie symplectique est la géométrie naturelle des espaces de phases est la facilité avec laquelle elle permet d'intégrer les questions de symétrie et leurs conséquences.
Théorème de Noether La présence de symétries dans un système mécanique a toujours pour conséquence la conservation de certaines quantités calculées à partir des positions et vitesses des objets étudiés. Ainsi lorsqu'un système est invariant par translation dans une direction, la quantité de mouvement dans cette direction est conservée. Lorsque le système est invariant par rotation autour d'un axe, le moment cinétique par rapport à cet axe est conservé.
Dans la formulation newtonienne de la mécanique classique, il semble impossible d'énoncer un théorème général qui engloberait les exemples cités ainsi que des situations possédant des symétries plus compliquées.
Le théorème de Noether affirme que dès que l'on a un groupe à un paramètre de transformations qui préserve un système mécanique il existe une quantité conservée lors de l'évolution de ce système. En fait l'énoncé complet donne une formule pour cette quantité en fonction des transformations et du système considérés.
Dans la formulation lagrangienne de la mécanique, on peut démontrer ce théorème en une dizaine de lignes. Dans la formulation hamiltonienne en termes de géométrie symplectique, la démonstration ne fait qu'une ligne et l'énoncé se généralise au cas de groupes de transformations à un nombre quelconque de paramètres qui ne commutent pas nécessairement entre elles. Le nombre de quantités conservées est alors égal au nombre de paramètres du groupe de transformations.
Systèmes hamiltoniens intégrables Une des conséquences de l'existence de quantités conservées est qu'elle contraint le système mécanique dans certaines régions de l'espace des phases définies par les conditions initiales.
Lorsqu'on a autant de quantités conservées que de degrés de liberté, le système mécanique est dit intégrable et la situation devient très simple, c'est ce qu'affirme le théorème d'Arnold-Liouville : pour presque toute énergie de départ, il existe des coordonnées et des nombres tels que
Systèmes presque intégrables Bien sûr la plupart des systèmes mécaniques ne sont pas intégrables, mais certains le sont presque. On peut alors essayer de comprendre dans quelle mesure, c'est l'objet de la théorie des perturbations qui fait elle aussi un grand usage de la structure symplectique des espaces de phases.
La géométrie symplectique partage de nombreux points avec la géométrie de Riemann, qui étudie les variétés différentielles dotées de tenseurs bilinéaires non dégénérés symétriques. Par contre, les variétés symplectiques n'ont pas d'invariants locaux telle que la courbure. C'est une conséquence du théorème de Darboux qui établit que deux variétés symplectiques de même dimension sont localement isomorphes. La question de savoir quelles variétés admettent des structures symplectiques n'est pas encore complètement résolue.
Chaque variété de Kähler est également une variété symplectique. Au cours des années 1970, les experts du domaine étaient incertains quant à la question de savoir si des variétés symplectiques compactes autres que celles de Kähler existaient, mais, depuis, plusieurs exemples ont pu être construits (le premier est dû à William Thurston).
La plupart des variétés symplectiques ne sont pas de Kähler et n'ont donc pas de structure complexe intégrable compatible avec la forme symplectique. Mikhaïl Gromov a remarqué cependant que les variétés symplectiques possèdent de nombreuses structures quasi-complexes qui vérifient tous les axiomes d'une variété complexe à l'exception du fait que les fonctions de transition n'y sont pas holomorphes.