vignette|Diagramme de la théorie des anneaux. En mathématiques, la théorie des anneaux porte sur l'étude de structures algébriques qui imitent et étendent les entiers relatifs, appelées anneaux. Cette étude s'intéresse notamment à la classification de ces structures, leurs représentations, et leurs propriétés. Développée à partir de la fin du siècle, notamment sous l'impulsion de David Hilbert et Emmy Noether, la théorie des anneaux s'est trouvée être fondamentale pour le développement des mathématiques au siècle, au travers de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres notamment, et continue de jouer un rôle central en mathématiques, mais aussi en cryptographie et en physique.
La théorie des anneaux considère les anneaux en général, alors que les anneaux commutatifs sont beaucoup mieux compris et ont engendré un grand nombre de résultats spécifiques, aujourd'hui regroupés sous le nom d'algèbre commutative. Le développement plus lent de la théorie générale, englobant également les anneaux non commutatifs, a été surtout motivé par la découverte dans les années 1980 des géométries non commutatives et des groupes quantiques.
Histoire La théorie des anneaux est née d'une volonté de systématiser des observations sur le comportement de plusieurs constructions algébriques (telles que les quaternions ou les corps de nombres). Si ces structures possèdent des parallèles évidents avec les entiers, par exemple qu'on peut en additionner deux éléments, ou en calculer le produit, des différences importantes ont été identifiées : par exemple l'importance de l'ordre dans la multiplication (pour les quaternions, non commutatifs) ou l'échec de la décomposition en nombres premiers dans certains corps de nombres.
L'étude des polynômes, motivée par la géométrie algébrique naissante, pousse Richard Dedekind à introduire un premier concept d'« anneau de nombres » pour capturer les similitudes entre ces structures dans lesquelles on peut ajouter et multiplier. Dedekind emploie le terme (« ordre ») qui a aujourd'hui un sens différent. Le mot, , qui désigne surtout de manière informelle une collection de nombres, est utilisé par David Hilbert qui l'utilise pour désigner ces structures dans un populaire ouvrage sur la théorie des nombres.
Suivant la démarche axiomatique en vogue au début du siècle, une première définition abstraite d'un anneau est donnée en 1914 par Abraham Fraenkel, qui sera complétée en 1917 par pour donner la définition actuelle d'anneau et d'anneau commutatif. Mais c'est indéniablement la mathématicienne Emmy Noether qui a le plus fait avancer la théorie naissante des anneaux abstraits, introduisant dans un article de 1921 la plupart des résultats fondamentaux du domaine et distinguant de nombreuses classes importantes d'anneaux, tels que les anneaux noethériens et les anneaux de Dedekind.
Désormais sans lien nécessaire avec les nombres, la théorie des anneaux prend son essor comme théorie indépendante. Lasker et Macauley montrent alors une correspondance entre les variétés algébriques, définies par un système d'équations polynomiales, et les anneaux construits à partir des idéaux maximaux tirés de ces équations. Ils montrent qu'il est ainsi possible de résoudre de nombreux problèmes de nature a priori géométrique en étudiant des idéaux d'anneaux, un problème a priori algébrique. Cela a inspiré l'idée moderne que toute la géométrie peut être comprise comme une discussion sur différents types d'idéaux.
Parmi les principaux auteurs ayant contribué au développement de la théorie, on compte en plus de ceux déjà cités William Hamilton, Joseph Wedderburn, Henri Cartan, Emil Artin, Nathan Jacobson, Charles Hopkins, Jacob Levitzki, Alfred Goldie, Shimshon Amitsur, Kenneth Goodearl, Richard Brauer, Paul Cohn, Israel N. Herstein, Kiiti Morita, et Øystein Ore.
Définition axiomatique La définition la plus courante d'un anneau est la suivante : il s'agit d'un triplet tel que est un groupe commutatif vis-à-vis d'une opération généralement notée + et appelée « addition » ; est doté d'une opération supplémentaire associative de « multiplication » généralement notée × ou • ou par simple concaténation ; La multiplication est distributive sur l'addition, c'est-à-dire que pour tout on a et . Dans certains contextes, certains auteurs préfèrent considérer des « anneaux sans unité » (multiplicative) appelés pseudo-anneaux. C'était le cas général considéré par Emmy Noether, et de nombreux manuels anciens construisent la théorie à partir des pseudo-anneaux. Dans la plupart des cas, et du point de vue catégorique, on considère aujourd'hui plus standard de travailler dans un anneau avec unité.
Une définition équivalente est qu'un anneau est une catégorie -enrichie dotée d'un unique objet.
En algèbre commutative, on ajoute l'axiome suivant : est son propre centre, c'est-à-dire que pour tout on a . Dans ce cas, on parle d'anneau commutatif.
Exemples La notion d'anneau est centrale en mathématiques et se manifeste donc dans de nombreux contextes. Quelques exemples importants sont : L'ensemble des entiers relatifs, muni des opérations usuelles d'addition et de multiplication, est un anneau commutatif. Les ensembles sont des anneaux commutatifs. Si est un anneau, l'ensemble des polynômes à coefficients dans forme lui-même un anneau noté . Si est un anneau, l'ensemble des matrices carrées à coefficients dans est un anneau (pour l'addition et la multiplication matricielle). Cet anneau de matrices est généralement non commutatif, même si est commutatif. Si est un espace topologique, et est un ouvert de , l'ensemble des fonctions continues de à valeurs dans un anneau , dénoté , est lui-même un anneau (pour l'addition
Théorie des anneaux commutatifs La théorie des anneaux dans le cadre commutatif s'est beaucoup développée au siècle, et les nombreux résultats issus de ce développement sont regroupés sous le terme d'algèbre commutative. Outre la relative simplicité du cas commutatif, il s'est avéré particulièrement adapté à l'étude de problèmes géométriques et arithmétiques ; à tel point, en fait, que l'histoire moderne de la géométrie algébrique, la théorie des nombres, et de l'algèbre commutative sont indissociables.
Pour la géométrie, c'est l'intuition de Lasker et Macauley, qui a abouti à la notion de schéma avec Grothendieck, qui montre une équivalence entre l'étude des variétés algébriques et celle des anneaux commutatifs et notamment de leur spectre. La notion de module sur un anneau, qui généralise en un sens celle d'espace vectoriel, apparaît alors naturellement et s'avère être un moyen efficace d'étudier l'anneau en question ; les modules permettent notamment de construire des représentations. Pour la théorie des nombres, c'est toute une classification issue des recherches de Kummer et Dedekind sur la factorisation qui permet d'analyser finement les constructions généralisant les entiers relatifs, sur la base des résultats qui s'y transportent ou non : existence d'une division euclidienne, unicité de la factorisation en éléments premiers, validité du théorème de Bézout, etc.
C'est précisément en observant l'échec de la factorisation unique dans certains corps de nombres, par exemple le fait que avec irréductibles dans , que Kummer a introduit la notion d'idéal. En effet, si la factorisation unique échoue pour les éléments de l'anneau, elle peut encore, en un certain sens, être valide pour les idéaux. Une famille particulièrement intéressante d'anneaux commutatifs possède la propriété que toute chaine d'idéaux croissante est stationnaire ; on les appelle aujourd'hui anneaux noethériens en l'honneur d'Emmy Noether.
En mesurant la longueur d'une telle chaîne avant qu'elle ne devienne stationnaire, Krull introduit alors une première notion de dimension permettant de « mesurer » la taille d'un anneau. D'autres mesures ont depuis été introduites, telles que la profondeur ou la dimension homologique. L'étude des idéaux et modules d'un anneau, mais aussi l'étude de ses comme montré par Hilbert par son théorème des syzygies, dote l'algèbre commutative de puissants résultats très généraux.
Du point de vue de la théorie des catégories, il existe une catégorie des anneaux et même des anneaux commutatifs, notées respectivement et , dont les flèches sont les morphismes d'anneaux. La notion d'équivalence de Morita, plus générale que celle d'isomorphisme, permet de rapprocher des anneaux dont les catégories des modules sont équivalentes.
Théorie des anneaux non commutatifs Le cas général, dans lequel on ne suppose pas que les anneaux étudiés sont commutatifs, est généralement plus difficile. Un premier obstacle est qu'un idéal dans le cas non commutatif peut être défini à gauche ou à droite, et que ces deux notions ne coïncident pas en général. Une conséquence est que de nombreuses constructions d'algèbre commutative ne fonctionnent plus, ou nécessitent des définitions plus générales et moins maniables, et que de nombreuses propriétés deviennent chirales : les anneaux peuvent par exemple être noethériens ou artiniens à gauche, à droite, ou bilatéralement.
En dotant un anneau (non nul) de tous les inverses des éléments non nuls, on obtient un corps gauche, qui correspond à la construction d'un corps si ce n'est que la multiplication n'est pas nécessairement commutative. Par contraposition du théorème de Wedderburn, un corps gauche est nécessairement infini. Le théorème de Frobenius détermine les seuls corps gauches associatifs de dimension finie sur , et le montre que certaines applications entre corps gauches sont soit des homomorphismes, soit des antihomomorphismes.
Dans l'espoir d'obtenir une classification générale des corps gauches, Brauer a introduit le groupe des classes d'équivalence de Morita des algèbres centrales de rang fini : c'est le groupe de Brauer, aujourd'hui réinterprété en termes de groupe de cohomologie.
Ore quant à lui a tenté d'étendre la construction du corps des fractions au cas non commutatif. Cette question (et la question plus générale de la localisation) a poussé à l'introduction des anneaux d'Ore, dont les anneaux commutatifs sont un cas particulier. Pour ces anneaux, on peut construire un équivalent du corps des fractions appelé l'anneau des quotients.
Modules et représentations L'étude des modules est un outil clé de la théorie générale des anneaux. Un module à gauche (resp. à droite) sur un anneau est doté d'une action à gauche (resp. à droite) par les éléments de ; en ce sens la construction des modules généralise celle des espaces vectoriels. En d'autres termes, un module est un « espace vectoriel sur un anneau », au lieu d'être sur un corps. Étant donné un anneau, il a toujours au moins un module : lui-même. L'étude des sous-modules et des idéaux permet, de manière comparable à l'étude des sous-groupes en théorie des groupes, de caractériser un anneau et d'en étudier les propriétés fines.
Derrière cette observation se cache l'idée que les modules constituent des représentations des anneaux. En effet, si on considère un anneau et un -module à gauche , par définition ce dernier est muni d'une action . Pour chaque élément il existe donc une application qui est au moins un morphisme de groupes pour la structure additive de . En fait, l'ensemble des morphismes de groupes de est naturellement doté d'une structure d'anneau (avec l'addition et la composition usuelles), de sorte que tout élément définit en réalité un morphisme d'anneaux . En d'autres termes, est une représentation de sur .
De manière équivalente, on peut dire qu'un -module à gauche est la donnée d'un groupe commutatif et d'une représentation de sur , ce qui illustre bien la connexion profonde entre les notions.