En théorie des nombres, la conjecture d'Artin est une conjecture sur la densité asymptotique relative de l'ensemble des nombres premiers modulo lesquels un entier relatif donné est une racine primitive, dans l'ensemble des nombres premiers. En termes simplistes, la conjecture d'Artin affirme que est générateur pour environ 37 % des nombres premiers..

Formulation Plus précisément, notons l'ensemble des nombres premiers tels que engendre (ℤ/ℤ)* : est un nombre premier long en base . Dans son journal, Helmut Hasse mentionne qu'Emil Artin lui a communiqué le la conjecture suivante (nous donnons ici une formulation plus précise due à Derrick Lehmer) :

Supposons que est différent de (cas peu intéressant car est alors inclus dans ) et n'est pas un carré, et notons sa partie sans facteur carré. Alors : a une densité strictement positive parmi l'ensemble des nombres premiers (cela implique en particulier que est infini). Si n'est pas une puissance parfaite et si n'est pas congru à modulo (), cette densité est indépendante de et égale à la constante d'Artin, qui s'exprime sous la forme du produit infini suivant :Voir les décimales de cette constante comme . Si n'est pas une puissance parfaite et si est congru à modulo , alors la constante est multipliée par un autre produit, où désigne la fonction de Möbius : Si , alors la densité est multipliée par un facteur faisant intervenir la fonction multiplicative définie par : pour tout nombre premier :

Exemples Par exemple, pour , la conjecture affirme que l'ensemble des nombres premiers pour lesquels est une racine primitive a la densité . Cet ensemble correspond à la :Il a 38 éléments plus petits que 500 et il y a 95 nombres premiers plus petits que 500. La proportion est donc 38/95 = 2/5 = 0,4 (et la conjecture affirme que cette proportion tend vers ).

Pour , l'ensemble est formé des nombres premiers dits « longs », dont l'écriture décimale de l'inverse a une période maximale, de longueur , comme dont l'inverse est .

Cet ensemble correspond à la : S(10) = { 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499…} dont la partie inférieure à 500 a une densité 35/95 = 0,368….

Preuves partielles En 1967, Christopher Hooley a publié une démonstration reposant sur l'hypothèse de Riemann généralisée.. (dont la véracité n'est pas à ce jour établie). En 1984, Rajiv Gupta et M. Ram Murty ont démontré (indépendamment de toute hypothèse) que la conjecture d'Artin est vraie pour un nombre infini de valeurs de , en utilisant une méthode de crible.. Roger Heath-Brown a amélioré ce résultat en montrant qu'il y a au plus deux trublions.. Ce résultat n'est pas une démonstration constructive et on ne connaît donc pas la valeur de ces trublions. Ainsi, si l'on considère , ou , le théorème de Heath-Brown nous dit que la conjecture est vraie pour au moins l'une de ces valeurs, mais on ne sait pas dire laquelle. À ce jour, il n'y a d'ailleurs pas une seule valeur de pour laquelle nous ayons une démonstration que est infini.

Notes et références

Voir aussi Articles connexes Développement décimal périodique

Bibliographie

Liens externes

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