vignette|redresse=1|Construction de différentes moyennes de deux nombres réels positifs dans un trapèze.
vignette|redresse=1|Construction de différentes moyennes de deux nombres réels positifs sur un demi-cercle..
En mathématiques, la moyenne est un outil de calcul permettant de résumer une liste de valeurs numériques en un seul nombre réel, indépendamment de l’ordre dans lequel la liste est donnée. À défaut de précision supplémentaire, le terme désigne la moyenne arithmétique, qui se calcule comme la somme des termes de la liste divisée par son nombre de termes., et s’applique de la même manière aux nombres complexes et aux vecteurs réels. D’autres moyennes peuvent être plus adaptées selon le contexte. Dans tous les cas, la moyenne est intermédiaire entre les valeurs extrêmes de la liste.
La moyenne est un des premiers indicateurs statistiques pour une liste de nombres (une série statistique). Elle est couramment utilisée pour estimer un niveau global, par exemple celui d’une classe, à partir des notes obtenues par les élèves à un examen.
Lorsqu'une certaine quantité est globalement distribuée à une population, la moyenne des quantités reçues individuellement exprime la quantité que chacun reçoit avec une répartition à parts égales.
La notion de moyenne s’étend avec la valeur moyenne d’une fonction intégrable, le barycentre d’un ensemble fini de points en géométrie classique, l’espérance d’une variable aléatoire et la moyenne empirique en théorie des probabilités, la moyenne de Fréchet dans un espace complet.
Motivations Valeur intermédiaire La notion de moyenne est historiquement reliée à celle de valeur intermédiaire, appelée aussi médiétéStella Baruk, « Moyenne », Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Éditions du Seuil, 1995.. Étant donnés deux nombres et , comment choisir une valeur pour que soit à ce que est à ? La réponse diffère selon l’opération choisie pour aller d’un nombre à l’autre.
Par exemple, pour aller de 2 à 18, on peut ajouter deux fois 8, avec une étape en 10, ou multiplier deux fois par 3, avec une étape en 6. Le premier cas décrit une moyenne arithmétique, qui s’obtient par la fraction . Le second cas est une moyenne géométrique qui s’obtient avec la racine carrée .
Un tel procédé est caractéristique des moyennes quasi-arithmétiques, que l’on définit sur les nombres d’un intervalle à l’aide d’une fonction réelle continue sur et strictement monotone (donc admettant une réciproque) :
En particulier, la fonction logarithme fournit la moyenne géométrique, la fonction inverse donne la moyenne harmonique et les fonctions puissances d’exposant définissent les moyennes d’ordre , dont la moyenne quadratique (pour ).
Valeur d'égalisation Une autre manière de définir une moyenne de deux nombres est de disposer d'une opération de cumul et de chercher comment obtenir le même résultat en cumulant plusieurs fois la même valeur. Avec une addition, on trouve , qu’on aurait pu obtenir en posant . Avec une multiplication, on trouve , qu’on aurait pu obtenir avec .
Pour un aller-retour à vélo sur une distance avec une vitesse moyenne à l’aller et au retour, la fonction de cumul peut être le temps total
ce qui donne comme vitesse moyenne la moyenne harmonique
Le cadre général de cette méthode est celui d’une moyenne de Chisini, déterminé par une fonction de cumul symétrique (), monotone de même sens en chaque variable et dont la diagonale définie par est continue et injective (donc admet une réciproque), ce qui permet de définir
Les rentrent toujours dans ce cadre avec un cumul défini par .
La méthode peut être généralisée pour établir une moyenne de plus de deux nombres, avec des fonctions de cumul qui doivent être compatibles.
Position d'équilibre La moyenne peut aussi être concrétisée par le point d'équilibre d’un ensemble fini de masses ponctuelles positionnées le long de la droite numérique, comme sur un mobile.
Cette approche permet d’introduire naturellement la notion de moyenne pondérée en considérant que les masses peuvent être différentes. Dans ce cas, le point d'équilibre est décalé vers les masses plus importantes. Ce principe apparait également dans les calculs de moyenne scolaire, où la note de devoirs surveillés pèse souvent davantage qu’un devoir oral ou à la maison. Par exemple, une note de 7/20 avec un coefficient 3 et une note de 19/20 avec un coefficient 1 donnera une moyenne de 10/20, trois fois plus proche de 7 que de 19 : .
Valeur minimisant la somme des distances Dans de nombreux cas, la moyenne d'un n-uplet de points dans un intervalle est la valeur qui minimise la somme
,
pour une semi-distance définie sur (ne vérifiant pas forcément l'inégalité triangulaire). En utilisant la notion d'argument du minimum, on peut alors écrire :
.
Cependant, pour une semi-distance quelconque, la valeur minimale de cette somme peut être atteinte en plusieurs points, voire ne pas être atteinte du tout.
Exemples :
pour , la semi-distance donne une somme minimisée en un seul point, la moyenne arithmétique du n-uplet (application du théorème de Koenig-Huygens) ; on peut écrire . pour , la semi-distance induit la moyenne géométrique du n-uplet pour , la semi-distance induit la moyenne harmonique du n-uplet Plus généralement, la semi-distance induit la moyenne quasi-arithmétique selon du n-uplet. vignette|Tracé de pour ; le minimum est atteint sur , correspondant aux valeurs médianes.
En revanche, la distance discrète basée sur le symétrique du symbole delta de Kronecker
ne donne pas une valeur moyenne du n-uplet mais ses modes (éléments ayant le plus fort effectif dans le n-uplet), et la distance usuelle renvoie les valeurs médianes (soit si , ou tout élément de si ; voir figure).
Pour d'autres moyennes, comme la moyenne logarithmique, le problème reste ouvert car aucune semi-distance associée n'a été déterminée.
On peut aussi évoquer la moyenne de Fréchet dans le cas où la fonctionnelle à minimiser est la variance de Fréchet. :
On parlera de moyenne de Karcher quand le minimum n'est pas atteint en un unique point, et de moyenne de Fréchet quand ce minimum est en un unique point.
Formalisation On distingue trois classes de définitions de moyennes numériques sur un intervalle : les moyennes binaires, qui sont définies pour tous les couples de nombres dans ; les moyennes d’arité quelconque, qui sont définies pour toutes les listes finies (non vides) de nombres dans ; les moyennes pondérées, qui sont définies pour toutes les listes finies non vides de couples où avec un poids , avec une somme des poids non nulle.
Propriétés Les moyennes répertoriées satisfont toutes les deux propriétés suivantes : leur résultat est intermédiaire entre les arguments :
le résultat est invariant par permutation des termes de la liste :
La première propriété implique directement la propriété d’identité : si toutes les valeurs de la liste sont égales, la moyenne doit aussi avoir cette valeur :
Beaucoup de moyennes satisfont en plus les propriétés suivantes : homogénéité de degré 1:
croissance par rapport à chacune des variables inégalités strictes :
continuité par rapport à chacune des variables
Pour les moyennes d’arité quelconque, on peut exiger une condition de compatibilité, stipulant que la moyenne d’une liste est inchangée si on remplace certains termes de la liste par leur moyenne partielle : où
Enfin, pour une moyenne pondérée, la condition de compatibilité est décomposée en deux parties : la moyenne est inchangée en supprimant les termes de poids nul ; la moyenne est inchangée si on remplace certains couples de la liste par un seul couple avec la moyenne pondérée partielle et la somme des poids correspondants :
Définitions Moyenne de deux nombres S'il n'existe pas de définition à proprement parler de moyenne, Edward Dodd considère qu'il est communément admis. que la moyenne de deux nombres et est définie à partir d'une application continue vérifiant les propriétés suivantes :
Oscar Chisini donne une définition moins restrictive d'une moyenne « substitutive », où la moyenne de et par rapport à m est la valeur t telle que.:
Moyennes de plusieurs nombres Hardy, Littlewood et Pólya, dans leur ouvrage Inequalities définissent la moyenne d'un ensemble discret de nombres à partir d'une fonction telle que, avec , est continue et strictement monotone sur [m , M], et pour un ensemble de poids strictement positifs et de somme égale à 1, la moyenne de est la valeur telle que.:
De façon alternative, Niculescu et Persson montrent comment étendre la définition d'une moyenne de deux nombres en une moyenne de n nombres. Pour cela, ils introduisent d'abord une version pondérée de la moyenne, avec deux poids , en posant :
puis, de façon récursive,
Ainsi, on construit de proche en proche la moyenne pondérée pour , en considérant sa représentation binaire avec
Enfin, on construit de façon récursive la moyenne de n nombres en posant :
Formulations Moyenne arithmétique
Pour toute liste de réels, on définit sa moyenne arithmétique par la formule , qui ne dépend pas de l’ordre des termes et est toujours comprise entre les valeurs minimale et maximale de la liste.
Cette moyenne est linéaire, c’est-à-dire que l’addition ou la multiplication par une constante sur les valeurs de la liste se traduit par la même opération sur la moyenne.
Pour calculer une moyenne sur une liste dans laquelle beaucoup de valeurs sont répétées, on peut noter la liste des valeurs (sans répétition) et la liste des effectifs (le nombre de fois qu’apparait chaque valeur dans la liste initiale). La moyenne s’écrit alors .
On retrouve la notion de moyenne pondérée, dans laquelle les facteurs ne représentent pas nécessairement des effectifs, mais des coefficients appelés poids, par exemple pour calculer la moyenne de notes sur un bulletin scolaire dans lequel on souhaite accorder plus d’importance à certaines disciplines ou à certains devoirs, en leur attribuant un coefficient plus grand que les autres.
La moyenne arithmétique est aussi cumulative, c’est-à-dire que si la liste est partagée en plusieurs sous-listes, la moyenne de la liste globale est la moyenne pondérée des moyennes des sous-listes, avec pour coefficients de chaque sous-liste le nombre de termes concernés.
Moyennes généralisées
Moyenne d'ordre p
Étant donnée une liste de réels positifs (voire strictement positifs pour la moyenne harmonique), avec éventuellement une liste de poids associés, positifs et non tous nuls, on définit les moyennes usuelles suivantes. + Expressions des moyennes usuelles Nom Moyenne brute Moyenne pondéréemoyenne arithmétique moyenne harmonique moyenne géométrique moyenne quadratique Ces moyennes reprennent certaines propriétés de la moyenne arithmétique : la moyenne ne dépend pas de l’ordre des termes ; la moyenne est toujours comprise entre la valeur minimale et la valeur maximale de la liste ; la moyenne est homogène, c’est-à-dire que si toutes les valeurs de la liste sont multipliées par un même facteur, la moyenne est multipliée par ce même facteur ; la moyenne est cumulative, c’est-à-dire que si la liste est partagée en plusieurs sous-listes, la moyenne de la liste globale est la moyenne pondérée des moyennes des sous-listes, avec pour coefficients de chaque sous-liste le nombre de termes concernés. la moyenne est croissante (par rapport à chaque )
En outre, ces moyennes sont toujours ordonnées par les inégalités suivantes qui prolongent l’inégalité arithmético-géométrique :
Toutes ces moyennes s’obtiennent sous la forme ou comme limite d’expressions sous cette forme, et entrent dans la définition de la moyenne d'ordre p. Plus précisément, on retrouve : pour , la moyenne arithmétique ; pour , la moyenne quadratique ; pour , la moyenne harmonique ; lorsque , la limite de est la moyenne géométrique ; lorsque , la limite de est le maximum de la liste; lorsque , la limite de est le minimum de la liste.
Autres moyennes