En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés (ou parfois pour ne pas les confondre avec les polynômes de Bernoulli ou avec les nombres de Bell), constituent une suite de nombres rationnels.
Il existe deux conventions pour la définition de ces nombres qui ne diffèrent que par le signe du terme d'indice 1. La convention prise dans la suite de l'article est de considérer le terme d'indice 1 comme négatif.
Ces nombres ont d'abord été étudiés par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes, dites sommes de Faulhaber, du type :
Pour des valeurs entières de , cette somme s'écrit comme un polynôme de la variable n dont les premiers termes sont :
C'est-à-dire, qu'il existe une suite de rationnels, les nombres de Bernoulli, tels que, pour tout et tout
Les premiers nombres de Bernoulli sont donnés par la table suivante : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 B1 = selon la convention choisie dans l'article. En sommant les puissances jusqu'à l'entier , le coefficient de aurait été . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 On peut les définir par l'intermédiaire du développement en série entière (convergent si ) :
Les nombres de Bernoulli apparaissent dans de très nombreuses applications, depuis la formule d'Euler-Maclaurin : , ou les sommes définissant la fonction zêta de Riemann, dues à Leonhard Euler :
jusqu'à l'approche par Kummer du dernier théorème de Fermat.
thumb|Jakob Bernoulli, Summae Potestatum, extrait de Ars Conjectandi, 1713. Les nombres apparaissent dans Ars Conjectandi de Bernoulli, 1713, .
Les nombres de Bernoulli avec au lieu de sont la transformée binomiale des premiers et s'obtiennent à partir des ou, ce qui est équivalent, en appliquant l'. à . À la suite de l'article « The Bernoulli Manifesto » de Peter Luschny, Donald Knuth a adopté la valeur , aussi dans les récentes réimpressions du livre Concrete MathematicsKnuth:Recent News « the new (34th) printing of Concrete Mathematics, released in January 2022 contains the much more extensive changes that are needed to tell a more comprehensive story » ; Knuth présente les nouvelles versions dans un texte à partReplacement pages..
Histoire
Les nombres de Bernoulli ont été découverts à peu près en même temps et indépendamment par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli, dont ils portent le nom, et par le mathématicien japonais Seki Takakazu. La découverte de Seki a été publiée à titre posthume en 1712 dans son ouvrage Katsuyō Sanpō ; celle de Bernoulli, également à titre posthume, dans son Ars Conjectandi publié en 1713. Ada Lovelace, en 1842, traduisant et annotant une description de la machine analytique de Babbage publiée par le mathématicien italien Louis-Frédéric Ménabréa en français dans un journal suisse, décrit dans la note G un algorithme permettant de générer des nombres de Bernoulli avec cette machine. Par conséquent, les nombres de Bernoulli ont la particularité de faire l'objet du premier programme informatique complexe publié. vignette|upright=1|center|« Programme » de calcul des nombres de Bernoulli dans la note G d'Ada Lovelace (1843).
Introduction : sommes de puissances
Jacques Bernoulli connaissait quelques formules comme... :
Bernoulli observa que l'expression
est toujours un polynôme en , de degré , de terme constant nul, dont le monôme dominant (de degré + 1) est et le monôme de degré est, si ., .
On démontre (voir plus bas le paragraphe « Formules de récurrence ») que plus généralement, pour , le coefficient de est le produit de par un nombre rationnel qui dépend seulement de et pas de . On peut donc définir les nombres de Bernoulli par :
En particulier, le coefficient de dans le polynôme est le nombre .
Premiers nombres de Bernoulli En donnant à la valeur 0, on obtient (avec 0 = 1) : pour tout entier ,
ce qui montre que .
En donnant à la valeur 1, on obtient :
ce qui confirme que et montre que .
En donnant à la valeur 2, on obtient :
ce qui montre de plus que .
En donnant à la valeur 3, on obtient :
ce qui montre aussi que .
Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence À partir de la condition initiale , on peut calculer les nombres de Bernoulli par récurrence en utilisant le fait que
ce qui peut se voir comme une relation de récurrence :
Cette suite d'équations linéaires.
donne successivement Par exemple, le détail du calcul de est :
Lien avec les polynômes de Bernoulli
Les polynômes de Bernoulli sont reliés aux nombres de Bernoulli par
Ils vérifient les relations :
si (le terme constant du polynôme de Bernoulli est égal au nombre de Bernoulli de même indice) ; si .
Les polynômes sont également liés aux polynômes de Bernoulli :
De
on déduit que
Par conséquent, les polynômes sont les primitives des polynômes de Bernoulli qui s'annulent en zéro :
Autres conventions et notations utilisées pour définir les nombres de Bernoulli On utilise parfois la notation pour distinguer les nombres de Bernoulli des nombres de Bell.
La définition employée dans cet article vérifie où désigne le polynôme de Bernoulli.
On rencontre également la convention , où désigne le polynôme de Bernoulli.
Les deux conventions ne diffèrent que pour le signe de ; on a :
Une autre notation, utilisée en topologieVoir aussi , ., est de considérer les termes pairs sans leur signe (on a ) :
Définition par une fonction génératrice
Les nombres de Bernoulli peuvent aussi être définis par l'intermédiaire d'une fonction génératrice. La série génératrice exponentielle associée à la suite est , de telle sorte que
pour tout de valeur absolue inférieure à (le rayon de convergence de cette série entière).
Cette définition peut être montrée équivalente à la précédente à l'aide d'un raisonnement par récurrence : le premier terme de la série est clairement (par prolongement par continuité). Pour obtenir la relation de récurrence, on multiplie les deux côtés de l'équation par . Alors, en utilisant les séries de Taylor pour la fonction exponentielle,
En développant ceci en produit de Cauchy et en réarrangeant légèrement, on obtient
Il est clair, à partir de cette dernière égalité, que les coefficients dans cette série entière satisfont la même relation de récurrence que les nombres de Bernoulli (voir paragraphe : « Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence »).
Valeurs Les premiers nombres de Bernoulli sont les suivants : +Nombres de BernoulliValeur décimale0 11−1 / 2 = −0,521 / 6 ≈ 0,166 73 04−1 / 30 ≈ −0,033 35061 / 42 ≈ 0,023 81708−1 / 30 ≈ −0,033 390105 / 66 ≈ 0,075 7611012−691 / 2 730 ≈ −0,253 1130147 / 6 ≈ 1,166 715016−3 617 / 510 ≈ −7,092 2Valeur décimale1701843 867 / 798 ≈ 54,971 219020−174 611 / 330 ≈ −529,12421022854 513 / 138 ≈ 6 192,1223024−236 364 091 / 2 730 ≈ −86 580,3250268 553 103 / 6 ≈ 1 425 51727028−23 749 461 029 / 870 ≈ −27 298 231290308 615 841 276 005 / 14 322 ≈ 601 580 87431032−7 709 321 041 217 / 510 ≈ −15 116 315 767330
Signe des nombres de Bernoulli À l'aide de la fonction génératrice, on peut démontrer que lorsque est impair et différent de 1, et que les signes des alternent pour pair. On a donc :
Formules de récurrence On justifie ici la définition des nombres de Bernoulli annoncée dans l'introduction. Repartons des sommes
pour tous entiers naturels et (en particulier, ).
On remarque que (d'après la formule du binôme après réindexation) :
et l'on obtient finalement :
ce qu'on peut voir comme une définition des par récurrence sur (incluant l'initialisation ). C'est cette approche qui permet de démontrer par récurrence que les coefficients de sont bien de la forme donnée dans l'introduction : .
Pour tout , notons le coefficient de dans , , et déduisons de la formule de récurrence des ci-dessus, par récurrence sur , que le coefficient de dans est le produit de j!/(j + 1 – k)! par B/k! non seulement pour , mais aussi pour tout entier naturel (ce qui est immédiat pour ). En supposant la propriété vraie pour tout , on trouve comme coefficient de dans , pour :
la première égalité résultant de l'hypothèse de récurrence et la dernière égalité résultant du § Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence :
Les nombres de Bernoulli et la fonction zêta de Riemann
La première relation a été obtenue par Leonhard Euler Ed Sandifer, , septembre 2005. E212 — (1755), , , traduction en anglais par David Pengelley (2000). sous la forme suivante
(On peut l'obtenir comme corollaire du calcul de la série de Fourier des polynômes de Bernoulli.)
La relation s'écrit en utilisant la fonction zêta de Riemann :
relation qui entraîne (pour ) :
thumb|upright=1.5|Les premiers nombres de Bernoulli (ordonnées des points rouges) sont donnés par la fonction (courbe en bleu). L'apparition de semble montrer que les valeurs des nombres de Bernoulli ne peuvent pas être décrites simplement ; en fait, ce sont essentiellement des valeurs de la fonction de Riemann pour des valeurs entières négatives de la variable, puisque et l'on sait que cette dernière est d'étude difficile (voir hypothèse de Riemann). Il est possible d'exprimer les nombres de Bernoulli grâce à la fonction zêta de Riemann de la façon suivante :
et
En particulier :
Comportement asymptotique de thumb|upright=1.1|Croissance des logarithmes des nombres de Bernoulli d'indice pair. Le graphe bleu (trait continu) montre , le graphe rouge (en pointillés) montre l'équivalent asymptotique .
On a l'égalité suivante pour les nombres de Bernoulli d'indice pair :
De la définition de la fonction zêta de Riemann, on déduit que (si ). Par conséquent, on a l'encadrement :
De l'inégalité (si ), on déduit que : (si ) , donc :
Par conséquent :
On a l'équivalent : . En utilisant la formule de Stirling pour écrire un équivalent de , on démontre l'équivalent quand tend vers l'infini : .
Applications en analyse Les nombres de Bernoulli apparaissent dans le développement en série de Taylor des fonctions tangentes (circulaire et hyperbolique), dans la formule d'Euler-Maclaurin ainsi que dans des expressions de certaines valeurs de la fonction zêta de Riemann.
Formule d'Euler-Maclaurin
Soit un nombre réel et un entier naturel. Si est une application de classe (avec ) sur .
avec
où est la fonction périodique de période 1 égale à , le polynôme de Bernoulli d'indice , sur l'intervalle .
où désigne la partie entière de .
Développements en série de Taylor À partir de la fonction génératrice, , on démontre les formules suivantes. :
Les nombres sont des nombres entiers appelés nombres tangents ou nombres d'Euler de deuxième espèceAlain Bouvier, Michel George et François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, PUF, 2001, édition, ..
On a le développement suivant :
Développements en série des nombres de Bernoulli
Propriétés arithmétiques
Les nombres de Bernoulli et les groupes de classes d'idéaux Les propriétés de divisibilité des numérateurs des nombres de Bernoulli sont liées aux groupes des classes d'idéaux des corps cyclotomiques par un théorème de Kummer. En 1847, Kummer démontrait que le dernier théorème de Fermat était vrai pour un certain ensemble de nombres premiers appelés nombres premiers réguliers. On dit qu'un nombre premier impair est s'il ne divise pas le nombre de classes de , sinon on dit que est irrégulier. Kummer découvrit un lien avec les propriétés de divisibilité des numérateurs des nombres de Bernoulli : un nombre premier impair est régulier si, et seulement si, ne divise le numérateur d'aucun des nombres . Le nombre premier 3 est régulier. Les premiers nombres premiers irréguliers sont : 37, 59, 67, 101, 103, 149 et 157. Si est régulier, alors l'équation n'a pas de solution entière (à part 1, 0 et 1). C'est la raison pour laquelle les nombres de Bernoulli possèdent des propriétés arithmétiques profondes.