La hiérarchie de Borel désigne une description de la tribu des boréliens d'un espace topologique comme une réunion croissante d'ensembles de parties de , indexée par le premier ordinal non dénombrable.
Notations préliminaires
Soit un ensemble de parties d'un ensemble . On note : l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de : l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de :
Les lettres grecques σ et δ représentent respectivement les mots allemands désignant la réunion () et l'intersection (), 1978, ..
On note par ailleurs le premier ordinal non dénombrable, c'est-à-dire l'ensemble des ordinaux dénombrables.
Définition de la hiérarchie de Borel
Soient un espace topologique métrisable, G l'ensemble de ses ouverts et F l'ensemble de ses fermés (F est l'initiale de « fermé », et G celle de « » : « » en allemand).
On initialise une induction transfinie sur l'ordinal en notant :
Puis, on définit alors par induction transfinie deux familles d'ensembles :
Finalement pour chaque ordinal dénombrable , on note :
Par exemple : est l'ensemble des parties de qui sont à la fois ouvertes et fermées ; , également notéCette terminologie est due à Felix Hausdorff : . F, est l'ensemble des unions dénombrables de fermés ; , également noté G, est l'ensemble des intersections dénombrables d'ouvertsUne propriété satisfaite par tous les éléments d'un G dense est dite générique. Il arrive qu'on qualifie de « génériques » les éléments de l'ensemble eux-mêmes. ; , également noté G, est l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de = G ; , également noté F, est l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de = F.
Les ensembles , et sont respectivement appelés classes additives, multiplicatives et ambiguës. La famille ordonnée par inclusion formée par la totalité de ces classes (pour ) est appelée la hiérarchie de Borel.
Propriétés élémentaires Les classes additives sont closes par unions dénombrables, et les classes multiplicatives sont closes par intersections dénombrables. Pour chaque ordinal dénombrable , les éléments de sont les complémentaires des éléments de . Pour tout ordinal dénombrable , est une algèbre d'ensembles. Les classes de la hiérarchie de Borel sont emboitées les unes dans les autres comme indiqué sur le schéma ci-dessous, les flèches symbolisant l'inclusion :
Dans (espace métrisable), tout fermé est un G (et, trivialement, un F). Dans ℝ, ℚ est un F (comme toute partie dénombrable d'un espace T) donc ℝ\ℚ est un G. Dans ℝ, ℚ n'est pas un G. En effet, sinon — puisque ℚ et ℝ\ℚ sont denses — l'ensemble vide serait comaigre, ce qui contredirait le théorème de Baire.
Exhaustion de la tribu borélienne Si l'on note la tribu borélienne sur , on peut montrer que :
Classes de Borel de fonctions Une fonction (avec et métrisables) est dite Borel-mesurable de classe si pour tout ouvert de , appartient à la classe additive de ou encore : pour tout fermé de , appartient à la classe multiplicative .
Les fonctions de classe de Borel 0 sont donc les fonctions continues, tout comme les fonctions de classe de Baire 0.
Toute fonction de classe de Baire 1 est de classe de Borel 1, autrement dit : pour toute fonction limite simple d'une suite de fonctions continues et tout ouvert de , est un F.
On démontre exactement de la même façon (§ 27, VIII).. que plus généralement, toute limite simple d'une suite de fonctions de classe de Borel est de classe de Borel .
On en déduit facilement que toute fonction de classe de Baire est de classe de Borel si l'ordinal est fini, et s'il est infini (en écrivant avec entier et nul ou ordinal limite, et en raisonnant par récurrence et induction)..
La réciproque est fausse en généralPar exemple pour = [0, 1] et = {0, 1}, la fonction caractéristique de {1} est de classe 1 au sens de Borel (le singleton et son complémentaire sont des F) mais pas au sens de Baire., mais vraie si = [0, 1] avec κ fini ou dénombrable : c'est le théorème de Lebesgue-Hausdorff..
Notes et références
Voir aussi
Catégorie:Système d'ensembles Catégorie:Topologie générale