vignette|redresse|L’aire sous l’hyperbole est égale à 1 sur l’intervalle . Le nombre est la base des logarithmes naturels, c'est-à-dire le nombre défini par . Cette constante mathématiqueLa typographie des constantes mathématiques requiert l’utilisation de la police romaine, pour réserver l’italique aux variables., également appelée nombre d'Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John NapierPar une variante orthographique de son nom., vaut environ 2,71828.
Ce nombre est défini à la fin du , dans une correspondance entre Leibniz et Christian Huygens, comme étant la base du logarithme naturel. Autrement dit, il est caractérisé par la relation ou de façon équivalente il est l'image de 1 par la fonction exponentielle, d'où la notation . La décomposition de cette fonction en série entière mène à la définition de par Euler comme somme de la série Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 142.D. :
Ce nombre apparaît aussi comme limite de la suite numérique de terme général et dans de nombreuses formules en analyse telles que l'identité d'Euler ou la formule de Stirling qui donne un équivalent de la factorielle. Il intervient aussi en théorie des probabilités ou en combinatoire.
Euler démontre en 1737 que est irrationnel, donc que son développement décimal n'est pas périodique, et en donne une première approximation avec . Il explicite pour cela son développement en fraction continue. En 1873, Charles Hermite montre que le nombre est même transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers.
Définition par les logarithmes Logarithme népérien vignette|redresse|John Napier. Au début du , le mathématicien écossais John Napier construit les premières tables de logarithmes, qui permettent de simplifier des calculs de produits et quotients mais aussi racines carrées, cubiques et autres. Elles consistent à associer à chaque nombre d'une liste un autre nombre (appelé logarithme), de façon qu'une relation de proportionnalité entre quatre termes de la première liste se traduise par des différences égales entre les termes correspondants de la seconde listeSimone Trompler, L'histoire des logarithmes, Les Cahiers du CeDoP, Université libre de Bruxelles, 2002, p. 5. : si , , et ont pour logarithmes respectifs , , et , alors la relation est équivalente à la relation .
Plus précisément, Napier fixe un rayon initial de dix millionsCe rayon correspond au rayon d'un cercle dans lequel sont calculées les valeurs trigonométriques, variant donc entre 0 et 10 et non entre 0 et 1 comme actuellement. et construit une liste dans laquelle chaque nombre permet de calculer le suivant en lui soustrayant un dix-millionième de sa valeur. Ces opérations successives sont donc des multiplications itérées par et la liste constitue une suite géométrique de premier terme 10. Le logarithme de chaque nombre de la liste étant son rang d'apparition, la formule du logarithme ainsi obtenu par Napier s'écrit alors : .
Napier interprète cette construction à l'aide d'un problème cinématique dans lequel un mobile se déplace à vitesse constante et un autre se déplace sur une longueur finie avec une vitesse proportionnelle à la distance qui lui reste à parcourir. En termes modernes, le problème se traduit donc par deux équations différentielles dont les solutions sont linéaire pour le premier mobile et exponentielle pour le second. En égalant les vitesses initiales des deux mobiles et en fixant à 10 la longueur à parcourir pour le second mobile, la position du premier mobile s'obtient à partir de la distance restante du premier mobile par la formule :
Or l'approximation affine du logarithme naturel en 1 permet d'approcher par avec une précision de l'ordre de , soit 7 chiffres significatifs. Les tables de valeurs obtenues par Napier offrent donc à la lecture les mêmes premières décimales que celles du logarithme naturel et en particulier, son logarithme vaut 10 entre les sinus de 21°35' et de 21°36, où l'on retrouveVoir la table de valeurs du logarithme népérien pour un angle de 21°, p. 44. les premières décimales de (à savoir 3678…). Mais ce nombre n'est pas mis en évidence par Napier.
Logarithme décimal En 1624, Henry Briggs, correspondant avec Napier, modifie les paramètres de construction des tables de logarithmes. D'abord il fixe à 0 le logarithme de 1, ce qui revient à choisir un rayon unitaire. Ses tables transforment alors les produits en sommes, ce qui s'écrit en formulation moderne : . Ensuite, il fixe à 1 le logarithme de 10, ce qui fait qu'une multiplication par 10 d'un nombre se traduit par un ajout d'une unité à son logarithme.
Briggs obtient ainsi une table de valeurs du logarithme décimalBriggs, Wallis, Ialley, Sharp, Mathematical tables, p. 27., fondé sur le système de numération en base 10, mais la notion de fonction n'a pas encore émergé à l'époque. En particulier, il n'y a pas de trace d'une évaluation d'un taux d'accroissement en 1, qui aurait pu faire apparaître une approximation de .
Logarithme naturel En 1647, Grégoire de Saint-Vincent met en évidence une relation analogue à celle du logarithme entre les aires de domaines délimités par une branche d'hyperbole et son asymptote. En 1661, Christian Huygens fait le lien entre les logarithmes et la quadrature de l'hyperbole, et en particulier celle d'équation . Le logarithme naturel est donc mis en évidence, mais sa base () n'est pas identifiée.
C’est dans une lettre de Leibniz à Huygens que ce nombre est enfin identifié comme la base du logarithme naturelCorrespondance entre Huygens et Leibniz, p. 33., vers 1690, mais Leibniz le note b.
Nouvelle notation vignette|redresse|Leonhard Euler. Euler, dans un article écrit en 1727 ou 1728 (E853), manuscrit sur la puissance explosive des canons publié pour la première fois dans et partiellement traduit dans ., est le premier à noter e . Il utilise cette notation, avec la même définition, dans une lettre à Goldbach en 1731..
Le choix de la lettre e comme un hommage au nom d'Euler lui-mêmeSuggéré par exemple par . étant par conséquent peu probable, d'autres suppositions ont été avancées : première voyelle ou première lettre non utilisée dans un calcul littéral, initiale de « exponentielle »..
Redéfinition par l'exponentielle Relation avec la base du logarithme naturel Euler voyait dans les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes des fonctions réciproques l'une de l'autre. Ecrivant l'équivalence , il appelait le logarithme en question le logarithme de base et remarquait que . Selon cette correspondance, il existe un nombre appelé par Euler vérifiant l'équivalence , ce nombre vérifie Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748 (écrit en 1745), vol. 1 (E101), chap. 7.. La fonction exponentielle admettant une décomposition en série entière, Euler obtient le développement de comme série des inverses des factorielles des entiers naturels.
Selon Hervé Lehning., il aurait eu :
Il va exprimer tous les coefficients en fonction de . Voici comment. D'abord, en posant , il obtient . Puis, il calcule :
mais puisque , il pose également
donc,
Il développe le membre de droite de façon à pouvoir identifier les coefficients de gauche à ceux de droite : , (d'où ), (d'où )
Il parvient donc à cette équation :
La base étant la seule permettant l'égalité entre l'exponentielle et sa dérivée, il reste à trouver tel que ce polynôme et sa dérivée sont égaux. La solution est triviale : . Enfin, on observe que 1, 2, 6, 24 sont les valeurs successives de la factorielle, ce qui mène Euler à conclure :
dont une valeur approchée avait déjà été calculée par Isaac Newton en 1669 E – History, sur functions.wolfram.com..
droite|cadre|Différentes courbes exponentielles. Seule celle de base (en bleu) a une tangente de pente 1 à l'origine. Les différentes caractérisations de la fonction exponentielle parmi les autres fonctions exponentielles de base quelconque permettent aussi de redéfinir comme l'unique réel tel que la fonction qui à associe coïncide avec sa dérivée en tout point, ou simplement au point (ce qui est équivalent)..
Propriétés Irrationalité La première preuve de l'irrationalité de est due à Euler . Fourier donna la preuve plus simple suivanteJanot de Stainville, Mélange d'analyse Algébrique et de Géométrie, 1815, sur bibnum, accompagné d'une analyse de Norbert Verdier, L'irrationalité de e par Janot de Stainville, Liouville et quelques autres.Cette preuve figure dans Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, p. 33-38, ainsi que celle de la généralisation suivante : pour tout rationnel non nul r, est irrationnel., en utilisant la décomposition de par la série exponentielle et en raisonnant par l'absurde.
Il s'agit de prouver que pour tout entier , le nombre n'est pas entier. Pour cela, il montre que lui-même n'est pas entier, en le décomposant sous la forme
où les nombres et sont définis par :
Le nombre est entier, comme somme des entiers (pour de à ) ; Le nombre n'est pas entier. En effet, il est compris strictement entre 0 et 1.
Ainsi, est somme d'un entier et d'un non-entier ; il n'est donc pas entier ; , n'est pas entier. Cette conclusion étant valable quel que soit l'entier , est irrationnel.
Fraction continue Une autre démonstration de l'irrationalité de consiste à utiliser les fractions continues. Si la preuve est plus complexe, elle offre aussi plus de possibilités de généralisation.
En 1737, Euler a obtenu le développement en fraction continue de Voir la section « Exemple : le nombre e » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ». :
Ce développement étant infini, ce nombre est irrationnel.
En 1761, Lambert étend la preuve donnée par Euler et montre, à l'aide de développements en fractions continues généralisées, que pour tout rationnel r non nul (en particulier pour tout entier non nul), est irrationnelVoir la section « Irrationalité » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne »..
Cette approche permet aussi d’établir que n’est pas un irrationnel quadratique, c’est-à-dire n’est solution d’aucune équation du second degré à coefficients rationnels ( Fraction continue et approximation diophantienne).
Cependant, la mesure d'irrationalité de est égale à , comme celle des nombres irrationnels algébriques ainsi que l'indique le théorème de Roth.
Transcendance Pour aller plus loin, c’est-à-dire que pour montrer que n’est solution d’aucune équation du troisième degré à coefficients rationnels puis, qu’il est transcendant, ce qui signifie qu’il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients rationnels, de nouvelles idées sont nécessaires.
La transcendance de fut établie par Charles Hermite en 1873Voir l'article « Théorème d'Hermite-Lindemann »., par une méthode préfigurant la théorie des approximants de Padé, développée en 1892 dans la thèse de son élève Henri Padé. Les différents approximants de Padé de la fonction exponentielle fournissent en effet de nombreuses expressions de sous forme de fractions continues généralisées.
Puisque est transcendant, l'est aussi, pour tout rationnel non nul (et plus généralement : , pour toute fonction algébrique non constante).
Le théorème de Gelfond-Schneider permet de démontrer également que, par exemple, est transcendant, mais on ne sait pas encore, en 2020, si et sont transcendants ou non (il est cependant conjecturé que tous les nombres de cette forme le sont).
Il est également conjecturé que est un nombre normal.
Applications Problème des intérêts composés