vignette|portrait de Philip Hall En théorie des groupes (une branche des mathématiques), les sous-groupes de Hall d'un groupe fini sont les sous-groupes dont l'ordre et l'indice sont premiers entre eux. Ils portent le nom du mathématicien Philip Hall.
Définition
Soit un groupe fini. Un sous-groupe de est appelé un sous-groupe de Hall de si son ordre est premier avec son indice dans . Autrement dit, un sous-groupe de est dit sous-groupe de Hall si est premier avec . Cela revient encore à dire que pour tout diviseur premier p de , la puissance à laquelle p figure dans est la même que celle à laquelle il figure dans . Propriétés
Si est un sous-groupe de Hall normal de alors il est seul de son ordre parmi les sous-groupes de et est donc caractéristique dans , éd., tirage de 1999, exerc. 5.26, p. 107 ; exerc. 5.31, p. 111. Le fait que si G est un groupe fini et H un sous-groupe de Hall normal d'ordre r de G, alors H est l'ensemble des éléments x de G tels que xr = 1 a été énoncé et démontré par G. Frobenius, « Über endliche Gruppen », Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, janvier à mai 1895, p. 170, consultable sur le site Internet Archive. (Référence à Frobenius donnée par W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, éd., 1911, réimpr. Dover, 2004, p. 53.).
Le fait ci-dessus a par exemple pour conséquence importante que le complément normal dont le théorème du complément normal de Burnside assure l'existence est non seulement normal mais caractéristique. P. Hall a prouvéNe pas confondre avec un autre théorème de Hall, résultat combinatoire plus connu sous le nom de « lemme des mariages ». que pour tout groupe fini : si est résoluble alors, pour tous et premiers entre eux tels que . Hall démontre de plus un analogue du théorème de Sylow (sur le nombre des sous-groupes d'ordre )... : il existe au moins un sous-groupe d'ordre , les sous-groupes d'ordre sont conjugués deux à deux, tout sous-groupe dont l'ordre divise est inclus dans l'un d'entre eux ; une réciproque forte du point 1.. : pour que soit résoluble, il suffit qu'il possède un sous-groupe d'indice pour chaque valeur de , où désigne la décomposition en facteurs premiers de .
Exemple
Parmi les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d figurent en particulier les d = pn, où p est un nombre premier et n l'entier maximum tel que pn divise |G|. Les sous-groupes de Hall correspondants sont exactement les p-sous-groupes de Sylow de G. Hall étend donc à tous les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d le théorème classique sur l'existence des p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini, mais seulement sous l'hypothèse supplémentaire que G est résoluble.
Notes et références
Voir aussi Base de Sylow
Hall