En algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une certaine structure construite à partir d'un ensemble de nombres. À un ensemble A de nombres, qui peut par exemple être celui des entiers ou des réels, est adjoint un élément abstrait X, appelé indéterminée. La structure est constituée de tous les éléments construits à partir d'additions et de multiplications d'éléments de A et de X. Explicitement, elle contient les nombres (aussi appelés polynômes constants), le polynôme X, les puissances de X multipliées par un nombre (aussi appelés monômes, qui sont de la forme aX), ainsi que les sommes de monômes. La structure obtenue est généralement notée A[X]. Les règles de notation de l'addition et de la multiplication ne sont pas modifiées dans la nouvelle structure, ainsi X + X est noté 2·X et X·X est noté X. Des exemples de polynômes formels sont , , etc.
L'ensemble A, utilisé pour bâtir la structure A[X], peut être composé de nombres, mais ce n'est pas indispensable. On lui demande seulement de supporter deux opérations : l'addition et la multiplication. Si ces deux opérations possèdent certaines propriétés comme l'associativité, la commutativité et la distributivité de la multiplication sur l'addition, on dit que A est un anneau commutatif. Additionnellement, il est demandé par de nombreux auteurs que A possède un élément neutre pour la multiplication, en général noté 1. Seul ce cas est traité dans cet article.
Parfois, A possède des propriétés encore plus fortes, comme celle d'être un corps commutatif. Cela signifie que tout élément différent de 0 est inversible pour la multiplication, comme c'est par exemple le cas des rationnels ou des réels, mais pas des entiers relatifs (puisqu'il n'existe pas d'entier n tel que 2n soit égal à 1). Dans ce cas, en plus de l'addition et de la multiplication, la structure A[X] possède une division euclidienne, par analogie avec l'anneau des entiers, et il devient possible d'utiliser les techniques de l'arithmétique élémentaire pour travailler sur les polynômes formels. L'identité de Bézout s'applique, tout comme le lemme d'Euclide ou le théorème fondamental de l'arithmétique. Il existe un analogue des nombres premiers constitué par les polynômes unitaires irréductibles. Quelle que soit la nature de l'anneau commutatif et unitaire A, la structure A[X] possède au moins les caractéristiques d'un anneau commutatif. Cette structure est appelée l'anneau des polynômes formels.
Les polynômes formels sont un des outils à la base de l'algèbre. Initialement, ils étaient utilisés pour résoudre des équations dites . Résoudre une équation algébrique associée à un polynôme formel revient à répondre à la question : par quelle valeur doit-on remplacer X dans le polynôme pour que l'expression obtenue soit égale à 0 ? Une solution est appelée racine du polynôme. Par exemple, la racine carrée de deux peut être définie comme l'unique racine positive du polynôme formel à coefficients réels.
Les polynômes formels sont maintenant le point de départ de vastes théories comme la théorie de Galois ou la géométrie algébrique, qui dépassent le cadre de la théorie des équations. La structure formelle des polynômes constitue également un outil dans des domaines variés des mathématiques, comme en théorie des probabilités (fonctions génératrices), en algèbre linéaire (polynômes minimaux et caractéristiques des endomorphismes), en analyse numérique (interpolation polynomiale et polynômes orthogonaux), etc.
De même que l'anneau A peut être étendu à une structure plus vaste A[X], l'anneau des polynômes à une indéterminée peut encore être étendu, soit par un anneau à plusieurs indéterminées, soit par le corps des fractions rationnelles, soit par l'anneau des séries formelles.
Dans toute la suite de l'article, A désigne un anneau intègre, K un corps commutatif, ℤ l'anneau des nombres entiers, ℝ le corps des nombres réels et ℂ celui des nombres complexes.
Préambule Approche intuitive Une manière simple de concevoir un polynôme formel est d'ajouter une lettre X, à un ensemble de nombres comme ℤ ou ℝ. Cette lettre ne possède aucune relation algébrique avec les nombres, les seules relations qui peuvent être écrites sont des égalités comme X + X = 2·X, ou encore X·X = X. Sur l'ensemble obtenu, l'addition et la multiplication doivent disposer des mêmes propriétés que celles qu'elles avaient dans l'ensemble de nombres et qui sont formalisées dans les axiomes du concept d'anneau. Les identités remarquables sont par exemple toujours vérifiées. Ainsi, si a désigne un nombre quelconque :
Un polynôme formel est une expression comportant un nombre fini de termes, tous composés de la même manière : le produit d'un nombre et d'une puissance de X. Un tel terme est appelé un monôme, tandis que le nombre est appelé le coefficient du monôme et la puissance de X le degré du monôme. Le polynôme 5X + 3X + 4, contient un monôme de degré 2 et de coefficient 5. Dans le cas général, un polynôme formel P quelconque prend la forme suivante, si ai désigne un nombre et i est un entier variant de 0 à n : .
Les additions se font comme pour les nombres usuels, ainsi aXn + bXn est égal à (a + b)Xn. La multiplication suit aussi les mêmes règles, auxquelles on ajoute la loi : Xn.Xm = Xn+m qui implique que (Xn)m = Xm·n, si n et m désignent deux entiers positifs.
Fragments d'histoire
L'idée d'ajouter une lettre à un ensemble de nombres pour résoudre une question qui se formalise sous la forme d'une équation est ancienne. On la trouve chez Diophante dès le : il donne à la lettre S le même sens que notre X dans son pré-langage symbolique. et la qualifie de quantité indéterminée d'unités. Il définit. ensuite les mécanismes opératoires de l'addition et de la multiplication d'une expression contenant sa lettre S. Sa motivation est la recherche de solutions d'équations dites diophantiennes où les coefficients ainsi que les solutions recherchées sont des nombres entiers ou rationnelsVoir à ce sujet .. Cette idée est reprise par les mathématiciens arabes qui généralisent l'étude aux cas où les solutions ne sont pas rationnellesRoshdi Rashed, Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l'histoire des mathématiques arabes, Paris, Les Belles Lettres, 1984.. L'indéterminée chez eux prend le nom de say et signifie la chose que l'on recherche. On leur doit la lettre X provenant du mot gizr' et qui signifie racine, le nom maintenant donné à une solution de l'équation polynomiale. Certaines méthodesHélène Bellosta indique : : (). sont développées, comme la dérivation formelle d'un polynôme dès le .
Cette formulation est reprise par François Viète, un mathématicien du qui utilise parfois le terme de polynôme F. Cajori, A History of Mathematics, New York, Macmillan, 1919 ( éd.), . et qui l'étudie toujours sous l'angle de l'équation. Un siècle plus tard, le formalisme du polynôme est modifié, le polynôme n'est plus une expression à laquelle on a ajouté une lettre X, qui se comporte comme un nombre; mais une fonction, qui à un nombre associe un nombre, ce que l'on appelle maintenant une fonction polynomiale, concept différent de celui du polynôme formel. Au , la nécessité du polynôme formel réapparaît. Dans ses , Carl Friedrich Gauss factorise le polynôme cyclotomique pour trouver un nouveau polygone régulier constructible à la règle et au compas. Il utilise des polynômes à coefficients dans des corps finis, nécessitant impérativement le concept de polynôme formelCarl Friedrich Gauss Disquisitiones arithmeticae 1801 (page 434 dans l'édition de 1807 traduite en français par Poullet-Delisle et publié aux éditions Jacques Gabay en 1989 , remis ainsi à l'honneur.
Jusque dans les années 1940, le formalisme change peu ; le terme d'« indéterminée » désigne toujours la lettre X ajoutée à un ensemble de nombres et, si les notations ont évolué, le formalisme reste celui élaboré par Viète. Maintenant, différentes constructions permettent de définir l'indéterminée comme un véritable objet mathématique et non plus comme une lettre et les polynômes sont construits rigoureusement. Durant l'époque charnière, Claude Chevalley écrit, dans un texte préparatoire à la première édition du chapitre II des Éléments de mathématique de Bourbaki de 1942 : . Maintenant, le terme indéterminée ne désigne plus que rarement la lettre qui le symbolise, mais l'élément lui-même, même si les constructions varientMême les textes très élémentaires présentent l'indéterminée comme un élément d'une structure d'algèbre et non plus comme une lettre : lien externe .Dans l'enseignement supérieur, l'indéterminée est définie comme le polynôme X, construit comme une suite : lien externe .Le lien externe note l'indéterminée x et la définit comme la suite (0,1,0,...).Les cours universitaires suivent la même convention ; l'indéterminée est un objet défini comme un polynôme particulier : lien externe .Cette idée est appliquée au cas de plusieurs indéterminées. L'indéterminée est encore définie à partir d'une généralisation de la suite précédente : .Les livres d'algèbre suivent largement cette convention : Michel Queysanne, Algèbre, Armand Colin, coll. « U », 1964, .Une présentation d'un niveau de premier cycle universitaire : J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome 1 : Algèbre, Dunod, 2003 , (dans l'édition consultée de 1971).Une autre technique est possible ; elle correspond à une définition axiomatique, un peu à l'image de celle de Chevalley. C'est celle proposée par .N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Algèbre, chapitres 4 à 7, Dunod, 1981 chap. 4..
Anneau des polynômes Écriture d'un polynôme
Pour construire rigoureusement l'anneau des polynômes A[X], il faut définir Cette citation est extraite du lien externe ., cette partie est traitée dans l'article détaillé. Pour écrire un polynôme sous sa forme générale, il faut disposer d'un nombre fini d'éléments de A, par exemple a0, a1, a2, … , ak, … , an, tel que an est différent de 0. On peut écrire le polynôme P sous les deux formes suivantes :
Dans la définition suivante, « la suite des coefficients de P » désigne alors : (a0, a1, a2, … , ak, … , an, 0, 0, … ).
Un monôme est un terme de la forme aXp, constitutif du polynôme ; a est appelé le coefficient du monôme et p son degré. Le plus grand degré des monômes à coefficients non nuls, ici n, est appelé le degré du polynôme — sauf si le polynôme est nul : on dit alors que son degré est moins l'infini. Le plus petit degré des monômes à coefficient non nul est appelé la valuation du polynôme — sauf si le polynôme est nul : on dit alors que sa valuation est plus l'infiniCes définitions proviennent du en lien externe ; elles sont justifiées par les formules sur la somme et le produit données plus bas..
Opérations sur les polynômes
L'ensemble des polynômes A[X] ressemble à bien des égards à celui des entiers. Les deux ensembles sont équipés de deux opérations : l'addition et la multiplication et ces opérations vérifient des propriétés regroupées sous le nom d'axiomes et définissant une structure dite d'anneau. L'élément neutre de l'addition est le polynôme constant 0 et si A contient un élément neutre pour la multiplication, généralement noté 1, l'élément neutre de A[X] pour la multiplication est le polynôme constant 1. L'expression « polynôme constant » signifie qu'il s'exprime uniquement à l'aide d'une constante et sans monôme de degré strictement supérieur à 0.